測度論的確率論にお詳しい方,以下の質問に答えていただけると幸いです.
[定義]
1. (Z,Θ): measurable space. Θはσ-algebra.
2. Z^∞=Z×Z×Z×... (Zの直積を可算無限回とった集合)
3. 以下の形をした集合Bは``finite measurable rectangle'':
B=A_1×A_2×...×A_T×Z×Z×...,
ここで,A_t∈Θ for all t=1,2,...,T. T∈N
4. Φ^T: Tを所与としたとき,全てのfinite measurable rectangleを含む集合族.
5. Φ: 全てのfinite measurable rectangleを含む集合族.
6. Ψ^T: Φ_Tの要素の任意の有限個の組み合わせのunionを全て含む集合族.
7. Ψ: Φの要素の任意の有限個の組み合わせのunionを全て含む集合族.
7. Θ^T: σ-algebra generated by Ψ^T
6. Θ^∞: σ-algebra generated by Ψ
7. μ^∞:Θ^∞→[0,1]: Θ^∞上に定義された確率測度.ただし,
これはΦ上で定義された確率測度をΨ上のそれへと拡張し,さらに
それをΘ^∞上に拡張して導出されたものとする.
8. ξ_t:Z^∞→Z:以下で定義されるmeasurable function
ξ_t(z_1,z_2,...)=z_t , t∈N
[Remark]
a. 自然数の集合Nは要素として∞を含まないので,T<∞.
b. Ψ^T,Ψはalgebraである.
c. 7.の例として,transition functionを使ってマルコフ過程を定義したものがある.
[確率過程]
このとき,
Θ^1⊂Θ^2⊂Θ^3⊂...
となり,かつ,ξ_tはΘ^t-measurable functionなので,({Θ^t}_t,(Z,Θ),{ξ_t}_t)
のセットは(Z^∞,Θ^∞,μ^∞)上に定義された確率過程となる.
[質問]
ようやく質問です.
今,Zがある有界な閉区間だとして,確率変数ξ_tの期待値がうまく定義できるとします.
このとき,定義から,Mが有限であればE(ξ_M)が定義できます.
では,lim_{M→∞}E(ξ_M)についてはどうでしょうか?
自分としては,定義されないと考えています.というのも,lim_{T→∞}Ψ^Tは
補集合について閉じていないのでalgebraでなくなります.したがって,拡張定理を
使えなくなって確率測度μ^∞がそもそも定義できなくなってしまうからです.
このロジックは正しいでしょうか?
では,lim_{M→∞}ρ^M E(ξ_M),0<ρ<1,についてはどうでしょうか?
E(ξ_M)自体は定義されないけど,仮にE(ξ_M)が存在しても,0に収束するのだから
「lim_{M→∞}ρ^M E(ξ_M)は定義される」と言っても問題ない,考えていますがいかがでしょうか?
長くなってしまいましたが,お聞きしたいのはこの2点です.数学の
勉強をして少しずつ慣れてきたものの,まだ自分の結論に確信をもてる
ほどのレベルには至っておりません^^;宜しければ数学に強い方の
ご意見をきればと思います.どうぞよろしくお願いします.
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
>補足について。
ε-δ論法を思い出して、limの定義をちゃんと考えれば分かるのでは。
質問文に出てくる論法は、例えば、
f'(x) = lim_{h→0} {f(x+h)-f(x)}/h
で、右辺はh=0のとき、0で割ることになって定義できないんだから、
f'(x)も定義できないはずだ、
と主張しているのと同じです。
返事が遅れてしまって大変申し訳ありません。
ご回答ありがとうございます。
要約理解することができました。どうもありがとうございます!
No.1
- 回答日時:
lim_{M→∞}E(ξ_M)
なら、有限のMについて定義できれば十分です。
E( limit_{M→∞}ξ_M )
だったら別ですが。
この回答への補足
ご回答ありがとうございます.
まだ理解していなくて,補足質問させていただきたいと思います.
よろしければお答えください.
>lim_{M→∞}E(ξ_M)
>なら、有限のMについて定義できれば十分です。
についてです.これは,「Mをいくら大きくしても必ずMよりも
大きい自然数が存在するから」という解釈でよろしいのでしょうか?
別の言い方をすれば,
lim_{M→∞}E(ξ_M)=limsupE(ξ_M)=liminfE(ξ_M)
であるからOKだと.例えば,limsupの部分を丁寧に書けば,
limsupE(ξ_M)=lim_{M→∞}sup{E(ξ_k),k≧M}
で,任意のM∈Nに対してE(ξ_k),k≧M,は定義できるから,という
解釈になるのでしょうか?
質問で長々と書きましたが,結局は初歩的な数学の質問ですね^^;
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