1＋２＋3＋４・・・・と無限に続けていくと…？　

Question

中３学生です
数学についてです

タイトルのように足していくと
学校の先生がマイナス15分の１になると言っていましたｗ

プラスの数を足し続けてなぜマイナスになるのですか？
またなぜそのような答えになるのですか？

kabaokaba · Accepted Answer

ちょっと前の新聞の記事をうろ覚えしてるのでしょう．
すでに指摘されているように
そもそも-1/15ではなく，-1/12です．
中学校三年生にこの話をするのは
あまりに時期尚早です．

一応ざっくりと．
世の中の「関数」と呼ばれるものには
定義域をある特定の範囲に制限すると
とても簡単な形になるものが存在します．
その中にリーマンのゼータ関数と呼ばれるものがあります．
このゼータ関数の定義域を
2,3,4,5のような2以上の自然数に制限すると
（実際には自然数である必要はないんだけども
中学生だということで簡単なケースにだけ限定），
2のときは，1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ・・・
3のときは，1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + 1/4^3 + ・・・
4のときは，1/1^4 + 1/2^4 + 1/3^4 + 1/4^4 + ・・・
のように表現でき，これらの値はすでに計算されています
（実は，これらの値は円周率πを用いて表せます）．

ここで，ひとつだけ，中学の範囲を超えることを使います
2^{-1} = 1/2 のように
「数の-1乗は逆数のこと」という約束を導入します．
そうすると，上の2以上の自然数のときの表記を
そのまま使ってみると
ゼータ関数の-1のときの値は
1/1^{-1} + 1/2^{-1} + 1/3^{-1} + ・・・・
となります．1^{-1}は 1/1 のことで，これが分母にあるので
1/1^{-1} = 1 です．同様に
1/2~[-1} = 2，1/3^{-3} = 3 となるので
ゼータ関数の-1のときの値は
1 + 2 + 3 + ・・・・
ということになります．
一方，ゼータ関数の-1のときの値は別の計算の方法で
-1/12であることがすでに分かっています．
ということで，
1 + 2 + 3 + ・・・・ = -1/12
とかけるということになります．

ここで問題となるのは
-1のときでもゼータ関数がこういう和の形でそもそも
かけるのか？ということです．
ここで，ゼータ関数というものを標語的に
このような和の形で表すと約束すればこのようにかけるのですが
このとき「和」というものそのものが
われわれの知っている「普通の足し算」というものから
大きく外れてしまっていることを見失うと
わけがわからないことになってしまうのです．
＃実際はもっと状況は複雑なのですが，
＃そういうのは大学生になってからでも遅くないでしょう．

grothendieck · Answer

ついでに言うと、これを最初に導いたのはガウスではなくオイラーと思われる。
http://mathsoc.jp/publication/tushin/1304/1304koyama.pdf
数学者の名前を間違えている上に「答えはマイナス15分の１で間違いない」と言ったとすれば困った先生ですね。オイラーは数学的厳密性には拘らず、奔放な洞察で多くの結果を導いた。しかしそれはこのサイトでよく見られるような「話にならん」考察をすることではないと私は思っています。

arrysthmia · Answer

首尾一貫性を重視するなら、
級数の収束域は無視できません。
リーマンが整備した、関数要素の接続
という考え方は、解析学では基本的なものです。
平たく言っても、関数とそれを表す数式は
混同しないほうがよい。

柔軟さが、ただの無軌道さにならないためには、
作法を身につけておく ことも大切です。

grothendieck · Answer

1 + 2 + 3 + ・・・・ = -1/12
という計算に意味がないかと言えば、そんなことはありません。
　ζ(s)=1/1^s + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + ・・・
を「sの関数としての首尾一貫性を重視する」という立場に立てば上の結果がちゃんと導かれます。ζ関数は現代数学で最も重要な関数の一つと言って過言ではありません。また現在最大の未解決問題と言われている「リーマン予想」もこの関数に関するものです。さらに「無限大=有限」というこの等式が現実世界との対応もあるのです！有限になるはずの量が理論的には無限大になってしまうということが理論物理学では少なくありません。そこでこのような等式で無限大を有限で置き換えると実験とぴたりと一致することがあります。
http://motls.blogspot.com/2007/09/zeta-function-regularization.html
カシミール効果の場合が知られていますが、他にも使われるようになってきています。あの有名なホーキングが定式化を行いました。
http://arxiv.org/abs/hep-th/9308028
いずれにしても「1 + 2 + 3 + ・・・・ = -1/12　なんて事があるわけがない！」と言わずに柔軟に考えることをお勧めします。

arrysthmia · Answer

脱線 :
別スレとの関連ですが…
Σ[n=1→∞] n~(-s) に s = -1 を代入する発想は、
(sin x)/x に x = 0 を代入してしまう発想と
根っ子が同じであるように感じられる。

arrysthmia · Answer

大学以降の数学を勉強して
「ゼータ関数」という言葉を知っている
人の中には、
その合計が -1/12 になると主張する
人たちがいます。
しかし、
数学的背景を理解した上で聞いても
かなり奇をてらった主張で、
数学者でも、そのような物言いに
反発する人が少なくありません。

まして、高校数学での級数すら習っていない
中学生相手に、授業でその話をして、しかも
ちゃんと自分なりに解説していない
とすれば、その不用意さは、無責任としか
言いようがありません。

まして、うろ覚えで -1/15 と言ったとすれば…
平素から、授業内容にミスがないか、
参考書と付き合わせて、警戒しておいたほうが
安全でしょう。

高校の数学IIIが既習(しかも、かなり得意)で、
今回の件に興味があれば、
「ゼータ関数」について検索してみるとよい。
ただし、ハードルは高めなので、そのつもりで。

ζ(-1)

grothendieck · Answer

マイナス15分の１ではなく、 -1/12 です。
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/oira-.htm
のζ(-1)のところを見てください。

gohtraw · Answer

自然数の和ということであれば、１から自然数ｎまでの総和は
ｎ＊（ｎ＋１）／２
で与えられるので負の値にはなり得ません（ｎもｎ＋１も正なので）。

先生の勘違いとか、あなたの聞き違いとか、どこか間違っていませんか？

sotom · Answer

マイナスになるわけない！
なるのなら、減量する際にも食べまくりますｗｗｗ

高校数学では、そういった式の和も公式として学習するようになります。
http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakua/suuretu/tousasum/tousasum.htm

疑問に思う前に、その教師にツッコミ入れましょう。

1＋２＋3＋４・・・・と無限に続けていくと…？

ちょっと前の新聞の記事をうろ覚えしてるのでしょう．

ついでに言うと、これを最初に導いたのはガウスではなくオイラーと思われる。

首尾一貫性を重視するなら、

1 + 2 + 3 + ・・・・ = -1/12

脱線 :

大学以降の数学を勉強して

マイナス15分の１ではなく、 -1/12 です。

自然数の和ということであれば、１から自然数ｎまでの総和は

マイナスになるわけない！

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