現在フーリエ変換を研究のために再度勉強しているのですが、以下の式を解く過程でどうしても詰まってしまいます。
∫(-∞,∞) 1/(√(2π)σ)×exp(-((t-μ)^2)/(2σ^2)) × e^(-jωt) dt
(t以外の文字はすべて定数)
要するに正規分布の確率密度関数式をフーリエ変換する際の式です。
インテグラル右の"1/"から"))"までが確率密度関数、それ以外はフーリエ変換式です。
確率密度関数についてはこちらのほうが見やすいと思います↓
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F% …
どこで詰まっているかといいますと、式が分かっておるのでフーリエ変換云々ではなく積分段階で詰まっています。
勉強不足が目に見えているのですが、少しばかり急を要することで…にっちもさっちも行かず質問させていただきました。
どなたかご教授お願いします。。
A 回答 (4件)
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No.1
- 回答日時:
結果だけでいいのなら
∫[ -∞,∞ ] 1/σ/√( 2*π)*exp{ -( t - μ )^2/( 2*σ^2) }*e^(-jωt) dt
= exp{ -(1/2)*(σ*ω)^2 + j*ω*μ }
= exp{ -(1/2)*(σ*ω) }*cos( ω*μ ) + j*exp{ -(1/2)*(σ*ω)^2 }*sin( ω*μ )
になります。
No.2
- 回答日時:
間違えました。
∫[ -∞,∞ ] 1/σ/√( 2*π)*exp{ -( t - μ )^2/( 2*σ^2) }*e^(-jωt) dt
= exp{ -(1/2)*(σ*ω)^2 - j*ω*μ }
= exp{ -(1/2)*(σ*ω)^2 }*cos( ω*μ ) - j*exp{ -(1/2)*(σ*ω)^2 }*sin( ω*μ )
です。
No.3
- 回答日時:
exp(-x^2/2) の不定積分は計算できないので,無駄な努力です.
この不定積分で
Error function とか言う名前の特殊関数の定義します.
exp(-x^2/2) と exp(-(x-jw)^2) , j^2=-1, w は任意の実数
の x が [-Inf, Inf] までの定積分は計算できて,
sqrt(pi) になります.
変数変換して,この定積分の形に変形してください.
No.4
- 回答日時:
方法1:
複素積分のコーシーの積分定理を利用して、実軸上の積分になおす。
問題の積分(フーリエ変換)はガウス平面上では虚数部一定の実軸に平行な直線上の積分。
また、x→±∞ではガウス関数の力により虚数部の値によらず0になる。
方法2:
この積分(フーリエ変換)をF(ω)とおき、ωで微分。
その結果をtで部分積分すると再びF(ω)がでてきて
F(ω)の微分方程式になるので、これを解く。
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