フーリエ変換の途中式について

ガウス関数のフーリエ変換の途中式において画像のような微分がでてくるのですが、xの関数をωで微分しているのに、なぜ0にならないのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： drmuraberg 回答日時： 2018/05/14 19:30

以前、回答して、この点を指摘され＜（11ｇ12）のωはｘの間違い。

従って（11ｇ12）の正しい式はd(e^(-ax^2)/dx = (-2ax)e^(-ax^2)＞と
答えたことが有ります。Best Answerを頂きましたが、間違いでした。
No.2の方のご指摘が正しかったのです。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9147635.html

しかし、解りづらいので、改めて無理なく繋がる様に以下に導出して見ました。

ガウス関数 f(x)=exp(-ax^2) のフーリエ変換は
　F(ω)=∫exp(-ax^2)exp(-jωx)dx　積分範囲［‐∞～∞］
で与えられる。

これをωで微分すると、
ｄF(ω)/dω=∫［d｛exp(-ax^2)exp(-jωx)｝/dω］dx
　　=∫［exp(-ax^2)d exp(-jωx)/dω］dx
=∫［exp(-ax^2)(-jx)exp(-jωx) dx

f(x)=(ja/2)・exp(-ax^2), と置くと df(x)/dx=exp(-ax^2)(-jx)
更にg(x)=exp(-jωx) と置くと、関数の積の積分公式
∫f’(x)・g(x)dx= [F(x)・g(x)] -∫ F(x)・g’(x)dx　を使い。

ｄF(ω)/dω=[(j/2a)exp(-ax^2)exp(-jωx)]
　　　　　　-∫(j/2a)・exp(-ax^2)(-jω) exp(-jωx)dx
　　　　　　　　　積分範囲　[-∞～∞]
　　　　　= -∫(j/2a)・exp(-ax^2)(-jω) exp(-jωx)dx
　　　　　　　　（第一項目は積分範囲で0になるので。）
　　　　　= -（j/2a）(-jω)∫exp(-ax^2)exp(-jωx)dx
　　　　　= -（ω/2a）∫exp(-ax^2)exp(-jωx)dx
　　　　　＝ -（ω/2a）F(ω)
　　　　
ｄF(ω)/dω= -（ω/2a）F(ω)　の微分方程式を解きF（ω）を求める。


http://www.cymis.jp/bitext/eq114gaus.pdf#search= …


に準拠しましたが、上の部分積分には計算ミスが有ります。


d(exp(-ax^2))/dω=(-2ax)exp(-ax^2) の変な式は回避できたようです。