ガウス関数のフーリエ変換 証明

ガウス関数のフーリエ変換の証明を解きたいのですが、
ググっても、詳細個所を省いて説明がなされているため、
最後の解まで至りません。。
数学の知識が足りないのは、至らないところですが
急ぎのため回答願います。

画像工学の分野にて、
フーリエ変換の式は下記を使いたいです。

F(ω)＝∫exp^(-ax^2)exp(-2πiωx)dx

この式を最後以下のように変形したいのです。

F(ω)＝√π/√a * exp(-ω/4a)

どなたか詳細お願いいたします。

質問者からの補足コメント

• 

  drmuraberg様
  ありがとうござます。
  2つ目のURLは自分も見つけ参照していたのですが、
  g11からg14への変形がわからず、
  ここを解説していただきたいのです。
  どなたか他の方でも構いません、見ていただいた方
  よろしくお願いいたします。

    補足日時：2016/01/07 16:38

No.4 ベストアンサー 回答者： drmuraberg 回答日時： 2016/01/07 23:53

（11ｇ12）のωはｘの間違い。

従って（11ｇ12）の正しい式は
d(e^(-ax^2)/dx = (-2ax)e^(-ax^2)

(11g13)は
(j/2a)d(e^(-ax^2))/dx = (-jx)e^(-ax^2)
となります。

(11g13)と(11g14)の間の式を
∫e^(-ax^2) *(-jx)e^(-jωx)dx = ∫(-jx)e^(-ax^2)*e^(-jωx)dx
として
(-jx)e^(-ax^2)とe^(-jωx)のそれぞれに部分積分を行います。

その時に(-jx)e^(-ax^2)の積分が(11g13),(j/2a)*e^(-ax^2),
である事が活かされて来ます。

その結果として(11g15)の常微分方程式が導かれます。

No.5 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2016/01/10 14:25

詳しく

I=F(ω)＝∫exp^(-ax^2)exp(-2πiyx)dx
とします。

yで微分します
∂I/∂y＝∫(-2πix)exp(-ax^2)exp(-2πiyx)dx
=∫(-2πiax)exp(-ax^2) / a × exp(-2πiyx)dx …①

ここで、∂exp^(-ax^2)/∂x=-2axexp(-ax^2)…②より、
①式を部分積分すると
∂I/∂y=(-πi/2a)[exp(-ax^2)exp(-2πiyx)]_(-∞〜∞) - ((π^2)y/a)∫[exp^(-ax^2)exp(-2πiyx)dx
= ((π^2)y/2a)I=
②式より、
上式の積分は
I=Aexp(-(πy)^2/a)=Aexp(-(2πy)^2/4a)

y=0の時、I=A=∫exp^(-ax^2)dx=√(π/a)

よって
I=F(ω)＝√(π/a)exp(-(2πy)^2/4a)

No.3 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2016/01/07 19:35

I=F(ω)＝∫exp^(-ax^2)exp(-2πiyx)dx

とします。

yで微分してxで部分積分すると
∂I/∂y=-4πyI/√a
従って
I=Aexp(-(2πy/√a)^2) (A:定数)
y=0の時I=Aより、
A=∫exp(-ax^2)dx=√(π/a)
従って
√(π/a)exp(-(2πy)^2/a)

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/01/07 17:29

(11.g12) から (11.g14) まではいろいろと混乱しているようなので, そこは生暖かく無視してやるのがよいかと.

式変形自体は
e^(-ax^2)(-jx)e^(-jωx) = [e^(-ax^2)(-jx)] × e^(-jωx)
としてから部分積分です. ここで前半 e^(-ax^2)(-jx) を x で積分するために (11.g12), (11.g13) 式があります (だから微分は ω ではなく x でしなければならない). そして, そこを積分したということは, 部分積分の第2項には e^(-jωx) を x で微分した式が出てきます.

このことを踏まえて (11.g11) から (11.g15) を自力で導いてみてください.

No.1 回答者： drmuraberg 回答日時： 2016/01/07 15:52

まず、次のＵＲＬの様にｘに付いて平方完成します。

http://d.hatena.ne.jp/biochem_fan/20130905/13783 …

次いで、複素積分を使いますが、複素積分を学んでいない場合は、
次のＵＲＬの様な計算をします。
http://www.oit.ac.jp/bme/~akazawa/bitext/eq114ga …

両方を組合わせれば、スペクトル
F(ω)＝√(π/a) * exp(-ω^2/4a)
が得られます。
注意！ωの2乗です。