数III 積分教えてください

（１）∫log(x+1)/x^2 dx
（２）∫2x^3＊e^(x^2) dx
（３）∫dx/(x-1)√(x+1)
（４）∫tanx log(cosx^2)dx

式変形をどのようにしたらよいのかが分かりません。
教えてください。　解説が詳しいとありがたいです。

No.2 ベストアンサー 回答者： ferien 回答日時： 2012/03/23 21:50

＞（１）∫log(x+1)/x^2 dx

部分積分
ｕ'＝ｘ^(-2)、ｕ＝（－１／ｘ），ｖ＝log（ｘ＋１），ｖ'＝１／（ｘ＋１）
＝ｕｖ－∫ｕｖ'ｄｘ
＝（－１／ｘ）log（ｘ＋１）＋∫｛１／ｘ（ｘ＋１）｝ｄｘ
２項目を部分分数に分けると、
∫（１／ｘ）ｄｘ－∫｛１／（ｘ＋１）｝ｄｘ

＞（２）∫2x^3＊e^(x^2) dx
ｔ＝x^2と置き換えて　２ｘｄｘ＝ｄｔ
∫2x^3＊e^(x^2) dx
＝∫２ｘ・ｘ^2・e^(x^2) dx
＝∫ｔｅ^tｄｔ
部分積分
＝ｔｅ^t－∫１・ｅ^tｄｔ

＞（３）∫dx/(x-1)√(x+1)
置換積分
ｔ＝√(x+1)とおくと，ｘ＋１＝ｔ^2，ｘ－１＝ｔ^2－２，ｄｘ＝２ｔｄｔ
∫dx/(x-1)√(x+1)
＝∫｛２ｔｄｔ／ｔ（ｔ^2－１）｝ｄｔ
＝∫｛２／（ｔ^2－２）｝ｄｔ
部分分数に分ける（自分でやってみて下さい。）

＞（４）∫tanx log(cosx^2)dx
置換積分
ｔ＝log(cosx^2)とおくと、
（－２sinｘcosｘ／cos^2ｘ）ｄｘ＝ｄｔ，－２tanｘｄｘ＝ｄｔ
∫tanx log(cosx^2)dx
＝∫ｔ（-1/2)ｄｔ

でどうでしょうか？後は自分で計算して下さい。

この回答へのお礼

たくさん答えていただき、ありがとうございました。
よく分かりました。

お礼日時：2012/03/24 00:07

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2012/03/23 22:28

あ、いけね。

(2) は、部分積分が逆だった。
xx と x(eのxx乗) の積に分けて、
x(eのxx乗) のほうを先に積分する側にしなきゃ。

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2012/03/23 20:50

(1)

部分積分で log(x+1) を微分する側にすれば、
分数式の積分だけになる。

(2)
部分積分で e^(x^2) を微分する側にすれば、
変形後に再び、与式と同じ積分が登場する。
与式を =S と置いて、S についての方程式になる。

(3)
y=√(x+1) で置換積分する。目障りなものを消す
という発想が有効。

(4)
y=cos(x) で置換すると、少しだけ簡単になる。
あとは、部分積分で log(y) を微分する側にする。