微分方程式

微分方程式
　dy/dx = a*y*(b-y)　　（a,b は定数, 0<y<b）
の解は
　y = b/(1 + C*exp[ax])
のように解くことが出来ましたが，
　dy/dx = a*y*(b + cx - y)　　（a,b,c は定数, 0<y<b+cx）
がなかなか解けません．

解法のヒントをいただければと思います．
よろしくお願いします．

No.3 ベストアンサー 回答者： noname#26313 回答日時： 2007/02/04 20:50

変数をｙまで戻す必要がありました。

1/(az)=√(π/2)・exp{(-ab^2)/(2c)}・erfi{(√a)・(b+cx)/√(2c)}/√(ac)
より
1/[ay・exp{-abx-(acx^2)/2}]=√(π/2)・exp{(-ab^2)/(2c)}・erfi{(√a)・(b+cx)/√(2c)}/√(ac)
∴ y=[√(ac)・exp{abx-(acx^2)/2}]/[{a√(π/2)}・exp{(-ab^2)/(2c)}・erfi{(√a)・(b+cx)/√(2c)}]

この回答へのお礼

回答ありがとうございます．

最初のあたりをヒントにもう少し自分で考えてみます．

お礼日時：2007/02/04 22:08

No.2 回答者： noname#26313 回答日時： 2007/02/04 20:40

dy/dx=ay・(b+cx-y)

dy/dx-(ab+acx)・y+ay^2=0
exp{-abx-(acx^2)/2} を両辺に乗じて
d/dx[y・exp{-abx-(acx^2)/2}]+ay^2・exp{-abx-(acx^2)/2}=0
z=y・exp{-abx-(acx^2)/2} とすると
y=z・exp{abx+(acx^2)/2}
dz/dx+az^2・exp{abx+(acx^2)/2}=0
dz/dx=-az^2・exp{abx+(acx^2)/2}
-dz/(az^2)=exp{abx+(acx^2)/2}・dx
積分すると
左辺=1/(az)
右辺=√(π/2)・exp{(-ab^2)/(2c)}・erfi{(√a)・(b+cx)/√(2c)}/√(ac)
erfi[u] は、虚数誤差関数といわれるものである。

No.1 回答者： inara 回答日時： 2007/02/04 20:19

残念ながら最初の答が間違っています。

dy/dx = a*y*(b-y)　　（a,b は定数, 0<y<b）　→　y = b/{1+C*exp(-b*a*x)}

次の微分方程式の解は誤差関数を使わないと解けませんが、式は合っていますか？

この回答へのお礼

回答ありがとうございます．

> 残念ながら最初の答が間違っています。
手元の紙ではあってたのですがタイプのときに間違えてしまいました．

> 次の微分方程式の解は誤差関数を使わないと解けませんが、式は合っていますか？
自分で少し式を変えてみて解けるかどうか考えていました．

お礼日時：2007/02/04 22:00