dx*dy=aは微分方程式になりますか

二つの非常に少ない量を掛け合わせたものが一定と考えられる場合、この量を、それぞれdx,dyとしてdx*dy=aとあらわしたものはそのまま微分方程式になりますか。

No.3 ベストアンサー 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/04/25 22:37

微分方程式 dx dy = a は、

左辺が２次微分形式、右辺が０次微分形式ですから、
解は存在しようがありません。
例えて言えば、
次元の異なるベクトルをイコールと置いた方程式
みたいなものです。

この回答へのお礼

そういうものなのですね。ご教示どうもありがとうございました。

お礼日時：2009/04/26 04:41

No.6 回答者： felicior 回答日時： 2009/04/26 22:56

記号dの意義は、ゼロでないあらゆる数に対して無視できる、ということです。

この「対して」という部分をもうちょっと正確に言うと、記号dを含む微小項と
記号dを含まない(ゼロでない)項との和差に関して、前者の項がゼロと見なされる、
ということです。乗除では無視できません。

y＝x^2
という関係があるとして、x,yがそれぞれdx,dyずつ増加したとすると、
y＋dy＝(x＋dx)^2
　　　＝x^2＋2xdx＋dx^2
これと先程の式との差をとると、
dy＝2xdx＋dx^2
　＝2xdx
となりますが、このdx^2が消える理由は
2xdx＋dx^2
＝dx(2x＋dx)
＝dx(2x＋0)
というように2xとdxの差においてdxが無視できるからです。

同様に考えると
dx・dy＝a
dx・dy－a＝0
0－a＝0
a＝0
となり全く意味を成しません。

ただ変数変換で
dx・dy＝du・dv
と書くことはありますが、両辺の次数は一致しているため消えません。なお、面積分で
dx・dy＝dS
と書いたりもしますが、これは両辺の間に一種の写像を考えているわけで、
次数が一致していないわけではありません。

この回答へのお礼

次数というものが重要なのですね。勉強させていただきます。ありがとうございました。

お礼日時：2009/04/27 02:49

No.5 回答者： Knotopolog 回答日時： 2009/04/26 12:16

＃１です．

＞式の中にｘやｙの項が含まれていないといけないということでしょうか。

式の中にｘやｙの項が含まれていなくても，常微分方程式として

　　　(dy/dx)＝a　　　(a は定数，y は x の関数)

というものがあります．これは，最も簡単な部類に属する常微分方程式です．
因みに，y＝ax＋c, (c は積分定数)が解(答え)になります．

この回答への補足

私にはdx*dy=aと dy/dx=aとが同じように見えますがこれは微分というものが理解されていないからだと思います。

補足日時：2009/04/26 17:58

No.4 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2009/04/25 23:23

　「二つの非常に少ない量を掛け合わせた」とありますが、微分方程式と見ると、矛盾することになります。

　理由は、dx*dy=a　を満足させたまま、dxを０に近づけますと、dyの絶対値は∞に発散するからです。

　dx*dy=a　は変数dx、dyの（微分ではない）方程式に過ぎないと思います。
　

この回答への補足

方程式であっても解はないということですか。

補足日時：2009/04/26 04:36

No.2 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/04/25 18:55

x, y を何か別の変数の関数と考えれば、

微分方程式とみなすことはできますが、
その方程式には、残念ながら解がありません。

この回答への補足

両辺を(dx)^2で割って dy/dx=a/(dx)^2としても原始関数は求められないのでしょうか。

補足日時：2009/04/25 20:28

No.1 回答者： Knotopolog 回答日時： 2009/04/25 17:51

微少量 dx, dy を単に dx*dy=a と掛け合わせただけでは，微分方程式にはなりません．連続的に変わる変化量が必要です．

この回答への補足

式の中にｘやｙの項が含まれていないといけないということでしょうか。

補足日時：2009/04/26 04:43