ゲーデルの不完全性定理について

ゲーデルの不完全性定理について

ネットサーフィンをしていたときに、たまたま、ゲーデルの項目を見つけました。

当方、数学は素人なのですが、
ゲーデルの不完全性定理（ある公理系の中には、真偽を明確にできない命題が存在する）
を僕たちが生きるこの世界、この宇宙にあてはめて考えると、

この世の中には、論理的には正しいとも間違っているとも証明できないことがらがあるということなのでしょうか。

No.3 ベストアンサー 回答者： kabaokaba 回答日時： 2009/11/04 22:22

> 論理的には正しいとも間違っているとも証明できないことがらがある

これくらいで十分だと思いますね．
もうちょっといえば
「数を扱える無矛盾な体系には論理的に真偽が証明できないものがある」
「数を扱える無矛盾な体系は，自身の無矛盾性を証明できない」
という感じかな．
これ以上になると話が大きくなりすぎる．
難しい証明ではないんだけども，話が大きいので
ついていくのが大変なんですよね。。この定理の証明．

ちょうど結城浩さんの数学ガールシリーズでゲーデルものが
でてるし，読んでみるのもいいかもしれません．
不完全性定理の証明もしてるようです．

で・・・
>矛盾がないようにどんなに公理を定めたとしても，正しいとか間違っているとか決められない事柄がある，というのもゲーデルの主張でしょう。

「自然数論を含む」というと「無矛盾だ」ということが重要．
ぶっちゃけた話，数を含まない体系だと
「ゲーデルの完全性定理」なんてものもあって
話はちょっとちがってくるのでややこしい．

No.2 回答者： f272 回答日時： 2009/11/04 13:36

#1の人が言ってることは，ちょっと気にかかります。

> 「法律の体系の中では、法律（の体系）自身が正しいということを証明できない」

ここで正しいと言うのは矛盾がないという意味だと思えば気になりませんが，それだからと言って

> 正しいと定められたこと（＝公理）を前提にした上で、個々の事柄を正しいとか間違っているとか、という証明はできます。

これはちょっとねえ。矛盾を含むようなことを前提にすれば別ですが，矛盾がないようにどんなに公理を定めたとしても，正しいとか間違っているとか決められない事柄がある，というのもゲーデルの主張でしょう。

> 論理的には正しいとも間違っているとも証明できないことがらがある

こんな風に理解しておけば，まあ，いいんじゃないだろうか。

No.1 回答者： sanori 回答日時： 2009/11/04 03:23

こんばんは。

私流に、わかりやすいつもりで一言で表すと、
「法律の体系の中では、法律（の体系）自身が正しいということを証明できない」
というようなイメージです。

＞＞＞この世の中には、論理的には正しいとも間違っているとも証明できないことがらがあるということなのでしょうか。

正しいと定められたこと（＝公理）を前提にした上で、個々の事柄を正しいとか間違っているとか、という証明はできます。
たとえば、「人殺しは悪いことだ」と「悪いことをした人は刑に処する」という前提のもとでは、「殺人者を刑に処する」ということは間違っていません。
しかし、「人殺しは悪いことだ」などを含むルールの体系自身が正しいかどうかは証明できません。

ご参考になりましたら幸いです。