不思議な数学の問題を宿題に出されました。形式論理の落とし穴を習ったのですが…。バカみたいな質問でごめんなさい。教えてほしいです。
「すべての馬は同色である」ことを数学的帰納法によって証明します。
[定理]任意のnについて、n頭の馬は同色である。
[証明]
n=1のとき、定理が正しいことは明らか。
k頭の馬は同色であると仮定して、k+1頭の馬が同色であることを言う。
いまk頭の馬に番号1からkをつける。
すると仮定によりこれらk頭の馬は同色である。
ここで1番の馬を外し、別の馬を連れてきてk+1番とすると、番号2からk+1のk頭の馬も仮定により同色である。
よってこのk+1頭の馬はすべて同色である。
実際にはそんなことはあり得ません。上の証明のどこが誤りですか??教えてください。
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
帰納法の場合、勝手に仮定するのは間違いではありません。
(1)k頭の馬は同色であると仮定
するのは全然問題がなく、このときに次の馬が同色なら、
(2)k+1頭の馬が同色
ということが言え、n=1で正しいことから、2,3,4・・・でも正しいことがいえます。
ここで間違っているのは、「1番の馬を外し、別の馬を連れてきてk+1番とすると、番号2からk+1のk頭の馬も仮定により同色である。」の部分です。
別の馬を連れてきても、あくまで仮定から言えるのは、「今までいた馬たち(馬番号1~k)」が同色なのであって、1番の馬を外した場合、「馬番号2からk」 は同色ですが、k+1が同色とはどこにも決められていません。
「k頭の馬は同色」という仮定の部分があいまいな日本語ですが、数学的帰納法を使う場合は、「馬番号1~kが同色である」と仮定することになります。
決して「馬がk頭いたら必ず同色である」と仮定しているわけではないので注意が必要です。
あくまで、馬1、馬2・・・馬k、が同色だったとき、もう1頭連れてきたときに、この1頭が同色ということが保証されれば、次の1頭を連れてきたときも必ず同色で・・・となり、n=1で成り立てば、全ての馬は同色が言えるわけです。
「もう1頭連れてきたときに、この1頭が同色ということが保証され」ないわけで、この定理は成り立ちません。
ここらへんがややこしいところですかね。。。
とてもわかりやすい回答をありがとうございます。
ややこしい文章にごまかされて見落としてしまうんですよね…。
助かりました。ありがとうございました。
No.3
- 回答日時:
「k頭の馬は同色であると仮定して、k+1頭の馬が同色である」
は、k=1のとき成り立たないからじゃないですか?
>別の馬を連れてきてk+1番とすると、
>番号2からk+1のk頭の馬も仮定により同色である。
をやっていいのは、kが2以上のときです。
この定理がもしn=2のときに成り立つことが
保証されてるなら、すべての自然数nについて定理が成立しますが。
定理 どの2頭の馬もすべて同色なら、任意の頭数の馬も同色である。
というふうな定理だと成り立ちます。そもそも数学では、n個のものが同じ色だというのは、(重複も考えて)どの2個も同じ色だということとして定義します。漠然と「同じ」という言葉を使っているところも問題だと思いますが。
抽象的にみると、状況は、
自然数Nに関する命題P(N)がある。
P(1)は真である。
P(2)は偽である。
K>=2について、「P(K)真ならば、P(K+1)真である。」は成り立つ。
となっているだけです。
これでよろしいでしょうか?
No.2
- 回答日時:
n=2の時に既に明らかではないですね。
すべての馬は馬色である。
n=1の時は明白。
k頭の馬は馬色で同色であるとすると、k+1頭の馬も馬色で同色。
よって、数学的帰納法よりすべての馬は馬色で同色である。
というのはどうでしょうか。
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