数Iの問題です

xを整数とするとき、n^2+1は3の倍数でないことを証明せよ。


証明の途中経過お願いします

No.5 回答者： the-theorier 回答日時： 2012/02/09 13:57

xとnのどっちを使えば良いのか迷いますが…nにしておきます。

仮にそのようなnが存在するならば、合同式から

n^2+1≡0 (mod 3)
⇔n^2≡-1≡2 (mod 3)

です。
平方剰余の第二補充法則より、平方剰余の記号を[a/p]と書くことにすると、

[2/3]
＝(-1)^{(3^2 -1)/8}
＝(-1)^(8/8)
＝-1

で平方非剰余なので、件の合同式は解を持ちません。
従ってn^2+1は3の倍数ではありません。

No.4 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2011/08/23 14:20

剰余について考える「合同式」を使って、やってみよう。

合同式自体は　↓　を参照。

http://search.yahoo.co.jp/search?p=%E5%90%88%E5% …

合同式は、全て(mod 3)とする。
(1)　n≡0の時　n^2+1≡0＋1＝1
(2)　n≡1の時　n^2+1≡1＋1＝2
(3)　n≡2の時　n^2+1≡4＋1＝5＝3＋2＝2

以上により、全てのnについて、n^2+1は3で割り切れない、つまり、3の倍数ではない。

No.3 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2011/08/23 12:52

書き込みミ、以下のように訂正。

(2)　n＝3k＋1　の時、n^2+1＝(3k)*(3k＋2)＋2＝(3の倍数)＋2　より　a＝2.
(3)　n＝3k-1　の時、n^2+1＝(3k)*(3k-2)＋2＝(3の倍数)＋2　より　a＝2.

(注)
(3)で、n＝3k＋2　としても同じ事。n＝3k-1　の方が扱いやすいだろう。

No.2 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2011/08/23 12:45

＞xを整数とするとき

nの間違いだろう、として回答する。
合同式を使ってもできるが。

kを整数として、任意の整数nは　3k、3k＋1、3k-1　としてあらわせられる。
n^2+1　をそれらで割った余りをaとする。
(1)　n＝3k　の時、n^2+1＝9k＾2＋1＝(3の倍数)＋1　より　a＝1.
(2)　n＝3k＋1　の時、n^2+1＝(3k)*(3k＋2)＝(3の倍数)＋2　より　a＝2.
(3)　n＝3k-1　の時、n^2+1＝(3k)*(3k-2)＝(3の倍数)＋2　より　a＝2.
よって、全ての整数nに対して、a≠0　から題意の通りに成立する。

No.1 回答者： nattocurry 回答日時： 2011/08/23 12:36

xを整数とするんですよね。

n^2+1の式にxは出てきませんが。

もう一方の質問と言い、問題間違いしすぎですよ。
あなたが問題自体を理解していないという証拠でもあると思いますよ。

(3n)^2+1=9n^2+1=3(3n^2)+1　3の倍数ではない
(3n+1)^2+1=9n^2+6n+1+1=3(3n^+2n)+2　3の倍数ではない
(3n+2)^2+1=9n^2+12n+4+1=3(3n^2+4n+1)+2　3の倍数ではない

これらをうまくまとめればよいです。