以下 n を自然数, p を素数とする. (a) 整数10000を 10000=(a_4)7^4+(

以下 n を自然数, p を素数とする.
(a) 整数10000を
10000=(a_4)7^4+(a_3)7^3+(a_2)7^2+(a_1)7+a_0 と7進法表示した時,a_0 ∼a_4 を求めよ.
(b) [·] を Gauss 記号とする時, [10000/7] [10000/7^2] [10000/7^3] [10000/7^4]を a_0 ∼ a_4 を 用いて表示せよ.
(c) nを
n = a_h p^h+a_(h−1) p^(h−1)+···+(a_1)^p+a_0
とp進法表示し, s = a_h+a_(h−1)+···+a_1+a_0, 自然数 k を pk∥n! なるものとすると,k=(n−s)/(p−1)
となることを示せ。

数論の問題なのですが、これはどう証明すればよろしいでしょうか？
どなたか回答をお願いします。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/05/20 08:47

数論つか、中学校で習うのでは？

(a)
7で割る。
10000 = 7×１４２８＋4，
1428 = 7×204 + 0,
204 = 7×29+1,
29 = 7×4+1
なので、
a_0 = 4,
a_1 = 0,
a_2 = 1,
a_3 = 1,
a_4 = 4.
(b)
余りを切り捨てる。
[10000/7] = (a_4)7^3+(a_3)7^2+(a_2)7+(a_1),
[10000/7^2] = (a_4)7^2+(a_3)7+(a_2),
[10000/7^3] = (a_4)7+(a_3),
[10000/7^4] = (a_4).
(c)
たぶん、問題文の転記にミスがある。
pk∥n! がどんな条件なのかは、その記述では判らないが、
k を一意に特定する条件には見えないので
k=(n−s)/(p−1) のような結論はおそらく導けない。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/05/19 18:58

(c) 「pk∥n!」が定義されていないので証明不可能.

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/19 17:09

10000を7で割ると商1428余りa_0=4

10000=7*1428+4
1428を7で割ると商204余りa_1=0
1428=7*204+0
204を7で割ると商29余りa_2=1
204=7*29+1
29を7で割ると商4余りa_3=1
29=7*4+1
4を7で割ると商0余りa_4=4