電気回路

Question

ＬＣＲの直列回路で共振角周波数をw0として、
電流Ｉの絶対値｜Ｉ｜が共振時の電流I0の1/k(k>1)となる
角周波数をw1,w2(w1<w2)とすると、w0^2=w1*w2となることの証明
また共振回路の性能係数Qsを求める

これの考え方がよくわかりません
教えてください

sinisorsa · Accepted Answer

学校の問題のようですので、ヒントだけです。
加える電圧をＥとすると、
Io＝Ｅ／Ｒ
|I|^2＝E^2／｛R^2　＋（ωL－1/(ωＣ))^2｝
　＝Io^2／k^2＝Ｅ^2／(Ｒk)^2
R^2　＋（ωL－1/(ωＣ))^2＝(R・k)^2
(ωL－1/(ωＣ))^2＝(k^2-1)R^2＞０
１）ωL＞1/(ωＣ)のときと
２）ωL＜1/(ωＣ)のときに分けて、
整理すれば、ωの２次方程式となるので、
それぞれ正の解を求めます。
ω2＝
ω1＝
これから、ω1・ω2＝
ついでに、ω2－ω1＝
k＝√2　のとき
Ｑs＝ωo／(ω2－ω1)＝
順に求めてください。
最後のＱsの式はωoを残すかどうかで表現式は３通りほど
ありますよ。

frfygyr · Answer

計算なので、凡ミスにご注意ください。

まず、前提条件として、ＬＣＲ直列回路に流れる電流の絶対値は次のように計算できますね。
　　　　|I|＝|V|/sqrt(　R^2+(ωL-1/ωC)^2　)　　――――(1)
ちなみに、sqrt(x)=√x　という意味です。
また、共振時の周波数も次のようになります。
　　　　ω0＝1/sqrt(LC)

「共振時の電流I0の1/k(k>1)となる」周波数ω1、ω2は、(1)式の左辺に　|I|＝I0/k　を代入した次に示す方程式の解になります。
　　　　ω^4　+　(略)ω^2　+　1/(LC)^2　=　0
解は、±ω1、±ω2　となりますが、ω>0　なので、負の解は除外されます。
高校の二次関数でも習うように、二つの解の積は、定数項に等しいので、
　　　　(ω1)^2×(ω2)^2　=　1/(LC)^2
　　　　　　∴　ω1×ω2　=　1/LC　=　ω0^2
となり、kに依存しません。


性能係数Qsについて。Qsは次のように定義されております。
　　　　Qs　=　2π　×　(回路に蓄積される最大エネルギー)
　　　　　　　　　　　　　　÷　(1周期で損失する全エネルギー)
つまり、より少ない消費電力(ω=ω0)で、どれだけ大きなエネルギーを通過できるか評価しているわけです。周波数フィルターとしての性能ですね。

まず分子を求めます。実数で考えますと、回路(L及びC)に蓄えられるエネルギーの瞬時値は次のようになります。
　　　　W　=　L×ie^2　+　C×Vc^2
　　　　　　=　LVe^2/R^2
　　　　　　　　　　　　　　　　(ie=Vesinω0t　、Vc=∫iedt/C)
Ve、ieは、電源電圧及び回路電流の実効値を表しております。さらに、Qsの分母は抵抗で消費されるエネルギーの事なので、
　　　　P　=　R×ie^2/f0
一周期分の値が欲しいので、周波数で割ります。

_takuan_ · Answer

先の回答ではやり方しか述べられていないので、解答を与えてしまします。
手計算なので、凡ミスにご注意ください。

まず、前提条件として、ＬＣＲ直列回路に流れる電流の絶対値は次のように計算できますね。
　　　　|I|＝|V|/sqrt(　R^2+(ωL-1/ωC)^2　)　　――――(1)
ちなみに、sqrt(x)=√x　という意味です。
また、共振時の周波数も次のようになります。
　　　　ω0＝1/sqrt(LC)

「共振時の電流I0の1/k(k>1)となる」周波数ω1、ω2は、(1)式の左辺に　|I|＝I0/k　を代入した次に示す方程式の解になります。
　　　　ω^4　+　(略)ω^2　+　1/(LC)^2　=　0
解は、±ω1、±ω2　となりますが、ω>0　なので、負の解は除外されます。
高校の二次関数でも習うように、二つの解の積は、定数項に等しいので、
　　　　(ω1)^2×(ω2)^2　=　1/(LC)^2
　　　　　　∴　ω1×ω2　=　1/LC　=　ω0^2
となり、kに依存しません。


性能係数Qsについて。Qsは次のように定義されております。
　　　　Qs　=　2π　×　(回路に蓄積される最大エネルギー)
　　　　　　　　　　　　　　÷　(1周期で損失する全エネルギー)
つまり、より少ない消費電力(ω=ω0)で、どれだけ大きなエネルギーを通過できるか評価しているわけです。周波数フィルターとしての性能ですね。

まず分子を求めます。実数で考えますと、回路(L及びC)に蓄えられるエネルギーの瞬時値は次のようになります。
　　　　W　=　L×ie^2　+　C×Vc^2
　　　　　　=　LVe^2/R^2
　　　　　　　　　　　　　　　　(ie=Vesinω0t　、Vc=∫iedt/C)
Ve、ieは、電源電圧及び回路電流の実効値を表しております。さらに、Qsの分母は抵抗で消費されるエネルギーの事なので、
　　　　P　=　R×ie^2/f0
一周期分の値が欲しいので、周波数で割ります。結果、性能定数は次のように求められます。
　　　　Qs　=　W/P　=　ω0L/R　=　1/ω0CR

電気回路

学校の問題のようですので、ヒントだけです。

計算なので、凡ミスにご注意ください。

先の回答ではやり方しか述べられていないので、解答を与えてしまします。

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