（数学II）加法定理、三角関数の合成

次の関数の最大値と最小値を求めよ。
（１）y=6sinx-2√3cosx
（２）y=5cosx+12sinx
という問題なんですが、
解答を見てみると
（１）の解答に
y=6sinx-2√3cosx=4√3sin(x-π/6)

と書いてあるのですが、どうやってπ/6を出したのか分かりません。
他の簡単な数字（1/2とか）なら出せるのですが、こうゆう場合、どう計算したら良いのでしょうか？

そしてもう１つ分からない所があって、
（２）の解答に
y=5cosx+12sinx=13sin(x+a)
ただし、角aはcosa=12/13，sina=5/13を満たす角である。

と書いてあるのですが、何故（１）のようにaの角度を出さず
ただし～という文をつける必要があるのでしょうか？

※√のすぐ隣にある数字は、√の中に入っているものです。
※分数は　分子/分母　と表示させて頂きました。

No.2 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2009/12/10 20:53

>と書いてあるのですが、どうやってπ/6を出したのか分かりません。

三角関数の合成の公式を習っていないですか？
ただそれを適用するだけです。合成の式だって教科書に式の導き方が書いてあるはずです。教科書をもう一度復習してみてください。

Asin(x)-Bcos(x)=√(A^2+B^2)sin(x-θ)
cosθ=A/√(A^2+B^2), sinθ=B/√(A^2+B^2)

(1)に適用すれば
A=6, B=2√3, √(A^2+B^2)=√(36+12)=√48=4√3
cosθ=A/√(A^2+B^2)=6/(4√3)=(√3)/2
sinθ=B//√(A^2+B^2)=(2√3)/(4√3)=1/2
sinθおよびcosθの値の両方とも満たす、0～2πの範囲のθは
∴θ=π/6
しかありませんね。

(2)
> ただし、角aはcosa=12/13，sina=5/13を満たす角である。
> 何故（１）のようにaの角度を出さず
> ただし～という文をつける必要があるのでしょうか？
全ての角θについて
（１）はsinθやcosθの値に対して、θがπの有理数倍で表せる特別な場合だからです。

(2)は
cos(a)＝12/13,cos(a)=5/13を満たす aがπの有理数倍にならず、あえて
aを求めれば無限小数（小数点以下が無限に続く数値）になるから
cos(a)=,sin(a)=で角aの値を示すのです。
高校の学年が進んだり、大学の数学を学べば、
このような角aを
a=arccos(12/13)とか　a=arcsin(5/13)
といった逆関数の形式で表す方法を学ぶでしょう。
そして、それらの角度は関数電卓で計算も出来ます。

Windowsの中に標準で入っている関数電卓では
Rad（ラジアンの計算）を選んで
12/13= [Inv] [cos]
と入力すれば　aの角度として
　0.39479...[ラジアン]（≒22.6°）
とか
5/13= [Inv] [sin]
と入力すればaの角度として　　0.39479...[ラジアン]（≒22.6°）
とか、角度の値を計算してくれます。

こういった半端な角度を書く代わりに
「ただし、角aはcosa=12/13，sina=5/13を満たす角である。」
と書くわけです。

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2009/12/10 20:14

過去にも同じような質問があります。

下のQ&Aは過去に回答させていただいたものです。
http://sqa.scienceportal.jp/qa5376408.html

（１）y=6sinx-2√3cosx の場合を考えます。

まず、√(6^2+(2√3)^2)= √48= 4√3でくくりだします。
y= 4√3* { (√3/2)sin(x)- (1/2)cos(x) }

ここで、cosα= √3/2, sinα= 1/2となるαを考えます。
単位円を使うと、α= 30度= π/6と求まります。
y= 4√3* { cos(π/6)sin(x)- sin(π/6)cos(x) }

加法定理の逆を用いると
y= 4√3* sin(x- π/6)

となります。


（２）y=5cosx+12sinxの場合も方法は同じですが、αとなる角度は簡単には求められません。
ですので、「このようなαですよ」と書くしかないのです。
最大・最小を求める場合、xの範囲に制限がない限りαの値は関係なく、
前にくくりだしている数字がポイントになります。

xの範囲に制限（例：π/2≦ x≦ 2π/3）がある場合には、
問題のパターンとしては（1）の形になることが多いです。