一次遅れ系の制御における時定数Tの求め方

計量士の資格を勉強していると自動制御の問題が出てきました。

単位ステップ応答は1-exp(t/T)である。
一次遅れ系の時定数Tの求め方として2つの方法がある。
一つは、1-exp(-t/T)が63.2%になったとき。
もう一つは、過渡応答曲線の原点での接線が定常値に交わるまでの原点からの時間を求める。
とあります。
ここで質問なのですが、この過渡応答曲線とは、1-exp(-t/T)の曲線のことでしょうか？

また単位インパルス応答はexp(-t/T)です。
これが36.8%になったとき時定数Tを求められることは知っているのですが、
同様に、過渡応答曲線の原点での接線が定常値に交わるまでの
原点からの時間を求めると時定数Tを求められるのでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2010/02/18 01:40

>この過渡応答曲線とは、1-exp(-t/T)の曲線のことでしょうか？

そうです。
t=Tとおくと、このときの振幅v(T)=1-exp(-T/T)=1-exp(-1)≒0.6321
と定常値の振幅1に対して0.6321は63.21％にあたります。

>原点からの時間を求めると時定数Tを求められるのでしょうか？
求められます。

過渡応答曲線v(t)=exp(-t/T)に対して、t=0における接線は
u(t)=1-(t/T)ですので、u(t)=0（定常値）になる時間は
1-(t/T)=0からt=T（時定数）が求められます。
このときの振幅はv(T)=exp(-T/T)=exp(-1)≒0.3679
これは定常値(0)までの振幅1に対して36.79％にあたります。

この回答へのお礼

やはりそうだったのですね。
これが引っ掛かって先に進めなかったのですが、これでようやく進めます。
ありがとうございます。

お礼日時：2010/02/19 15:35

No.1 回答者： foobar 回答日時： 2010/02/17 21:15

一次遅れの単位ステップ入力に対する（初期値が0からの）過渡応答は 1-exp(-t/T)です。

ここで、t=0での傾きを求めると、d(1-exp(-t/T))/dt=1/T*exp(-t/T)より、1/T。
最終値は1ですので、最終値と接線は1/(1/T)=Tの時刻で交差します。

一般に、ステップ入力に対して、一次遅れの出力は初期値y(0)、最終値y(∞）とすると、
y(t)=(y(0)-y(∞))exp(-t/T)+y(∞)の形になって、
t=0での傾きは (y(∞)-y(0))/Tになり、
y(0)での接線とy(∞)はt=Tで交わります。