因数分解の公式(x+y)^2＝x^2+2xy+y^2という公式は＝以降

因数分解の公式(x+y)^2＝x^2+2xy+y^2という公式は＝以降を(x+y)^2-2xyと並び変えると何故-2xyになるのですか？？
+2xyにならないのは何故か教えて下さい。

あと、(x+y)^2はx^2+y^2と同じ意味ですか？？
(^2は二乗を現わしています。)すいませんあほな事ばかり聞いて(；一_一)

No.3 ベストアンサー 回答者： flex1101 回答日時： 2010/06/09 21:45

(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2

上の式において、両側で-2xyとすると
(x+y)^2 - 2xy = x^2 + y^2
となり、左右を入れ替えて
x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy
ですね。

x=√5+2, y=√5-2の時
(x+y) = (√5+2) + (√5-2) = 2√5
(x+y)^2 = (2√5)^2 = 2*2 * 5 = 20

2xy = 2*(√5+2)(√5-2) = 2*(5 - 2*2) = 2

よってx^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 20 - 2 = 18
となります。

この回答へのお礼

なるほど！！対称式の変形だったのですね！！
やっと理解できました！ありがとうございました（＾◇＾）☆

お礼日時：2010/06/10 00:38

No.5 回答者： nananotanu 回答日時： 2010/06/09 22:12

多分質問者さんはなんでx^2+y^2という計算をワザワザ(x+y)^2-2xyという形で計算しなくちゃいけないの？と不思議に思われているのでしょう。

このメリットはある程度因数分解や展開の「感覚」が身についていないと『感じることが』難しいのですが・・・・

1)勿論x^2+y^2に代入して力技で計算することは出来ます（し、そんなにめちゃくちゃ難しいわけでも有りません）。
2)しかし、xもyも　(a+b)　という、2つの項からなる形をしていますので、その二乗を考えるときは単に(あるひとつの数を)二乗するだけでなく　a^2 + 2ab + b^2 と、複数の項からなる計算をこなさなければなりません。
3)また、『数学的感覚の身についた人には』　(a + b)×(a - b)　という形の計算は、a^2 - b^2　という、『非常に簡単な形に出来る：項が(3つでなく)2つだ』ということが自然と感じ取れます。

ここで、右辺の　(x+y)^2-2xy　をみてみましょう。計算すべきは　(x+y)^2　と　2xy　です(その後に、両者の差をとれば良い)。ところが、x+yに具体的値を代入すると、２　が相殺されて　√5　という単純に一個の数字の二乗を計算すればよいことになります。また、xy　に具体的数値を代入すると、３）が使えて、暗算でも計算できる、√5の二乗と2の二乗、それぞれの差、となります。

即ち、「数学的感覚が身につくと、」x^2+y^2というややこしい計算が　(x+y)^2-2xy　という暗算でもできる簡単な計算に置き換えられる、と『自然と思い浮かぶようになる』のです。

数学の問題を沢山こなして、感覚を身につけてくださいね！　応援しています。

この回答へのお礼

数学的感覚か・・・私にはきっと無いけど回答者様のコメントを見て
この問題が何を言わんとしてるかが理解出来て、すっごく頑張ろうって思えました(/_;)
たくさん問題をやって少しでも出来るように頑張ります（＾ｕ＾）

お礼日時：2010/06/10 00:46

No.4 回答者： banakona 回答日時： 2010/06/09 22:08

＞あと、(x+y)^2はx^2+y^2と同じ意味ですか？？

違います。

＞●条件x=√5+2、y=√5-2の時

これだと計算が面倒なのでｘ＝１、ｙ＝１とでもしてみましょう。
左辺＝（１＋１）^2＝２^2＝４
右辺＝１^2＋１^2＝１＋１＝２
で、違いますね。

あなたが書いたように、(x+y)^2＝x^2+2xy+y^2
という公式があって、右辺にある＋２ｘｙを左辺に移項すると　(x+y)^2－２ｘｙ＝x^2+y^2
となり、これの右辺と左辺をひっくりかえしたのが　

＞x^2+y^2＝(x+y)^2-2xy

です。＝以降を並び変えている訳ではありません。

あっ、計算はちゃんと　x=√5+2、y=√5-2　でやってくださいよ。
あなたの認識が間違っていることを示すために、仮にｘ＝１、ｙ＝１としただけですから。

この回答へのお礼

移項が全然わかってなかったんですが、この説明であほな私にも理解できました(*^。^*)

お礼日時：2010/06/10 00:41

No.2 回答者： very_well 回答日時： 2010/06/09 21:06

質問者の読み間違いか、教科書の印刷ミスか、分かりませんが、ミスは簡単に推測できます。

印刷ミス（あるいは読み間違い）

　　　×　　(x+y)^2 = (x+y)^2 - 2xy
　　　×　　(x+y)^2 = x^2 + y^2

正しいくは、

　　　○　　　x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy
　　　○　　　(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2

印刷ミスの推理でいど出来ないと、高等数学の本は読めません。高等理論になるほど、原稿を校正できる人材も少なくなるのでは、と思います。だから中学や高校生の数学の教科書は、印刷ミスの無い教科書だから、読者にとって、たぶん天国みたいなものでしょう。

この回答へのお礼

私の質問が言葉足らずだったのに、こんなに丁寧に間違いを解説して頂いて本当に有難うございました。
色々と勉強になり、大変嬉しく思います（＾－＾）（●＾o＾●）

お礼日時：2010/06/10 00:35

No.1 回答者： flex1101 回答日時： 2010/06/09 20:33

(x+y)^2 = (x+y)^2 -2xy

だと矛盾しています。式の写し間違えでは?

(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = x^2 - 2xy + y^2 + 4xy = (x-y)^2 + 4xy
とならできますが。

あと、
(x+y)^2は(x +y)*(x + y)を表し、 x^2+y^2は x*x + y*yを表しますので、同じ意味ではありません。

この回答への補足

すみません。
問題を書きます。
●条件x=√5+2、y=√5-2の時

x^2+y^2＝(x+y)^2-2xy
＝(2√5)^2-2・1
　　　　＝20‐2＝18　
という問題でひっかかってしまい質問させてもらったのですが
わかりますでしょうか？

補足日時：2010/06/09 21:10

この回答へのお礼

ありがとうございました（●＾o＾●）

お礼日時：2010/06/10 00:30