幾何ベクトルの法線と垂線に関する定義が理解できません。

Question

幾何ベクトルの法線と垂線に関する定義が理解できません。
どなたか、教えてください。

点P1(x1,y1)と直線、l:ax+by+c=0を想定する時、P1からlへの垂線の足をP0(x0,y0)と置きます。
直線lの定義により、直線lの法線ベクトルnは(a,b)と置けます。
参考書によると、この時n・p0+c=0とのことですが、ここが理解できません。

法線ベクトルとp0の内積とcがどのような関係性があるのでしょうか。

(例えば、直線lと法線ベクトルの内積が0である、ということなら理解できます。しかし、直線l上のベクトルをどのように式に表せばよいかがわかっていません。例えば、直線上に点P2をおき、(x2,y2)とすると、x2は式lを満たし、かつP2-P0とnの内積が0である、という表現しか思いつきません。)

どなたか、解説をお願いいたします。

178-tall · Accepted Answer

>.... 法線ベクトルnと直線lの内積を表す式において、ax+by=-cの代入はなぜ可能なのでしょうか？

ここは落ち着いて、
　L : ax+by+c=0　　　…(1)
の導出過程を見直してください。

確かに、法線ベクトル n をスカラー倍したり、直線 L 上のベクトルの起点 Po(xo, yo) をシフトすると、見かけの {a, b, c} は変化します。

直線 L 上のベクトル u (x-xo, y-yo) と、法線ベクトル n (a, b)との直交関係、
　u*n = (a, b)*(x-xo, y-yo) = 0
ですから、(1) と両立することは簡単に確かめられます。

178-tall · Answer

オランダ戦「惜敗」のあと。

>　L : ax+by+c=0　　　…(1)
>の導出過程を見直してください。

こんな感じ。
　　　↓

・法線ベクトル n をスカラー倍
　(1) の {a, b, c} もスカラー倍

・直線 L 上のベクトルの起点 Po(xo, yo) をシフト
　起点ベクトル Po(xo, yo) の法線ベクトル n に対する平行成分は不変だから、(1) のまま。

banakona · Answer

難しく考えすぎでは?

P0(x0,y0)は直線ｌ上の点なので、ax0+by0+c=0
この式の左辺の第2項までは　ベクトル（ａ，ｂ）とベクトル(x0,y0)の内積になっているので、
n・p0+c=0

幾何学的な意味としては、まず、ａ，ｂ，ｃは直線に対して一意に決まらない（全体を定数倍しても同じ）ので、ベクトル（ａ，ｂ）を単位ベクトルにするために全体を√（ａ^2＋ｂ^2）で割っておく。ｃはｃ／√（ａ^2＋ｂ^2）になる。

内積n・p0は、ｎが単位ベクトルになったので、ベクトルｐ0の、ベクトルｎへの正射影になる。つまり、原点から直線ｌまでの距離に等しい。

一方、任意の点（α、β）から直線ax+by+c=0までの距離は
|aα+bβ+c|／√（ａ^2＋ｂ^2）
なので、原点からの距離は|ｃ|/√（ａ^2＋ｂ^2）で、√（ａ^2＋ｂ^2）＝１にしたので、これは内積n・p0に一致。

符号が気になるけど、オランダ戦も気になるのでここで失礼します。

178-tall · Answer

直線 L 上のベクトルは、(x-xo, y-yo) と表せますね。

法線ベクトル n (a,b) との内積は、
　a(x-xo) + b(y-yo) = 0
になるはず。

そして、
　a(x-xo) + b(y-yo) = ax+by - (axo+byo) = -c - n*p0 = 0
つまり、c + n*p0 = 0 .

>.... 法線ベクトルnと直線lの内積を表す式において、ax+by=-cの代入はなぜ可能なのでしょうか？