数学です。この問題で外積を使って四面体の面積を出したいのですが写真で記したとおりｅ×DA＝DHの部分

数学です。この問題で外積を使って四面体の面積を出したいのですが写真で記したとおりｅ×DA＝DHの部分がわかりません。教えてください

No.2 ベストアンサー 回答者： think2nd 回答日時： 2017/06/30 12:54

"ｅ×DA＝DHの部分がわかりません" 。

って私的にはeの部分もわかりません。・・・①
まだわからないのは4面体の面積は、添付問題と違いますが、表面積のことでしょうか。・・②
なおもってわからないのはなぜ外積を使って面積を出したいのでしょうか。・・③
表面積を求めるには行列を使う方が遊びになると思いますが…　または例の面積公式S=(1/2)√{(｜a|^2|b|^2-(a・b)^2}を4回使って足し合わせてもおなじかな　(注　ここで使っているa,bはベクトルです。・は内積です。)

No1さんの明快な解説を見て　ちょっと火が付きました。　以下　①②③に加えて添付問題も無視しての回答です。

　中心課題を'外積をステップにした4面体の体積を求める方法を'解説します。　一応高校3年+大学1年初期レベルが対象です。

　基礎知識　・3次元でのベクトルの座標表示を添付問題でもわかるように縦に書くことも、了解して下さい。
　　　　　　・零ベクトルでないベクトルaに　ベクトルbを正射影してできるベクトルb'は写像です。この正射影する1次変換Pを
　　　　　　　Pa(b)と書きます。つまりPa(b)=b'とします。
　　　　　　　aとbのなす角をΘとするとb'の大きさは|b|cosΘです。　
　　　　　　　aとb'は平行です。(向きは同方向か、逆向きです。向きはΘに依存します。)
　　　　　　　aと同じ向きの単位ベクトルをeとします。すなわちe=a/|a|　です。
　　　　　　　さて求めるb'です。eとb'は平行ですからb'=teとなる実数tがあります。b'の大きさが|b|cosΘですからtそのものです。
　　　　　すなわちb'=(|b|cosΘ)eです。(注　大きさと長さを意識して区別しています。大きさには正負があり、長さは0以上と思って
　　　　　　区別しています。aとbのなす角Θが-π/2≦Θ≦π/2ならaとb'が同じ向きになりそれ以外ならaとb'の向きが逆になることを
　　　　　言っています。)
　　　　b'=(|b|cosΘ)e
　　　　　=(|b|cosΘ)(a/|a|)
　　　　　=(|b|cosΘ/|a|)a　　　　　　　(　　)内で分母分子に|a|を掛けて
　　　　　=(|a||b|cosΘ/|a|^2)a　　　　|a||b|cosΘは内積ですからa・bと書けて
　　　　∴　b'=Pa(b)=((a・b)/|a|^2)a・・・④　
　　　　と書けます　　　　　　　(写像Pが1次変換であることは④でb=xと置いて証明できます。)

　　以上
　　さて　本題に入ります。
　　　四面体ABCD　→AB=b　→AC=c　→AD=d　とします。その体積をVとします。
　　　底面ABCの面積Sは外積を利用して
　　　　S=(1/2)|b×c|　
　　　　Dまでの高さhは　b×c=aとおいて→ADをaに正射影した時のhですから
　　　　　　h=|Pa(d)|で求まります。
　　　すなわち　V=(1/3)Sh=(1/6)|b×c||((b×c)・d)/|b×c|^2||b×c|
　　　　　　　　　　　　　=(1/6)|b×c||(b×c・d)|b×c|
　　　　　　　　　　　　　=(1/6)|(b×c)・d|　・・・⑤
　　　　　　b×c=(1,0,2)　d=(3,2,-1)　からV=5/6　かな?

　PS　実は⑤の(b×c)・dは３次の正方行列で
　　　　　　　　　　|-2　4　3|
　　　　　(b×c)・d=|3　-5　2|
　　　　　　　　　　|1　-2　-1|
　　のことですから、行列式で解けます。　(a,b,cの座標成分をそれぞれ縦ベクトルとして書いています。)
　　このことは大学の基礎演習の公式や演習の参考書には載っています。

　失礼しました。

No.1 回答者： sc348253 回答日時： 2017/06/29 13:05

a,bの外積a×bはベクトルであり、一方、　|a||b|sinθ はスカラーです。

正しくは、「外積a×bの大きさ」は、　|a×b| = |a||b|sinθ
a×bはベクトル積ですが、上記の式で大きさだけ定義してもa×bの定義として満足しません
それは、ベクトルは大きさと方向が決まらなければ一つに定まらないからです。
a×bは、大きさが　　|a×b| = |a||b|sinθ
で表され、aとbの両方に直交するベクトルの内、aからbへ右ネジ(逆時計)を回す方向を向いたもので、簡単に言うと、定義より、a×bはaと直交します。同様にa×bはbとも直交します。さらに-(a×b)もa,bの両方に直交します
そのことを踏まえると、
a=(4,4,-2) d=(1,2,-1)で表されるベクトルで、このaおよびdに直交するベクトルは
　　c = ±(a×d)
さらにcに平行な単位ベクトルを求めれば、それがa,dの両方に直交する単位ベクトルとなります。
求めるベクトルeは、
　　e = c/|c| = ±(a×d)/|axd I
a×dの成分を与えられたa,dの成分から求めれば、eの成分表示を具体的に書けるでしょう！

　c = ±(a×b) この式は教科書にあり直交するベクトルの式です。ここでは、b→dです。

以上より、sinθ=0 なら並行 ,sinθ=1なら垂直！
上記のc=e・I c I で、貴方のでしたら、c=DAでしょう！

ベクトルDA=OAーOD=(1,2,ー1)ー(4,4,ー2)=(ー3,ー2,1)
I DA I=√(ー3)^2+(ー2)^2+1^2)=√14
∴ ベクトルDA/√14=(ー3/√14,ー2/√14 ,1/√14)

体積
=AC(外積)AB(内積)AD/6
=(4,ー5,2)外積(ー2,3,ー1)内積(3,2,ー1)/6
=(ー1,2,2)内積(3,2,ー1)/6
=ー1/6 →この絶対値なので、1/6