線積分と面積分

線積分と面積分
線積分と面積分で何が求まるのかわかりません。
線の長さと面積ですか？それとも線を積分、面を積分だから、次元が上がって、面積と体積が求まるのですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2010/07/14 00:57

＞線積分と面積分で何が求まるのかわかりません。

線積分は線上に分布している量の総和が求められます。
面積分は面上に分布している量の総和が求められます。
体積積分はある体積内に分布している量の総和が求められます。
たとえば面積分では
I=∫(Ω）f(Ω)dΩ
はxy平面上の領域Ωにおいてある量ｆがf(x,y)=f(Ω)のように分布している時
IはΩにおけるｆの総量が求められます。
机の上に広がった水たまりがあるとすると、ある量を各点における水面の高さに取ると積分によって水たまりの体積が求められます。

この回答へのお礼

具体例がわかりやすかったです。ありがとうございました。

お礼日時：2010/07/14 08:49

No.1 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2010/07/13 19:38

　言葉で言えばある量（何でも良い）を、線で積分，面で積分です。

　　・線で積分の線積分の最もふつうの奴は、∫f(x)dxです。f(x)を、x軸という線で積分する．
　　・面で積分の面積分の最もふつうの奴は、∫f(x，y)dxdyです。f(x，y)を、xy辺面という面で積分する．

という話ですが、線積分，面積分と「あえて」言うからにはふつう、単純な面や線でない場合です。

　例えば、ふつうの体積積分（∫f(x，y，z)dxdydxで、(x，y，z)は体積Ｖの任意の点）は、体積Ｖを包む曲面Ｓ上の面積分になり、Ｓ上の面積分は、Ｓの射影平面での領域境界（曲線）Ｃ上の線積分に直せます。

　これは、
＞線を積分、面を積分だから、次元が上がって、面積と体積が求まる・・・

のでなくて、被積分関数を「1回づつ線で積分」して行ったので、体積で積分→面積で積分→線（長さ）で積分と、積分領域の次元が落ちて行った結果です。

　論点を絞れば、もっと良い回答が付きますよ、きっと^^。

この回答へのお礼

素早い解答ありがとうございました。

お礼日時：2010/07/14 08:48