おもいつかないから

x^2×e^(-ax^2)
の積分で(nは正整数 aは正実数)
e^(-ax^2)
の積分（t = ｘ√aなどとして）
ふつうにもとめたものから,

(x)'e^(-ax^2)の部分積分として求めたものとして（そのごx^2×e^(-ax^2)がでてくる）
をつかって方程式を立ててもとめる方法が解答でしたけど、
おもいつかないので、別かいはありませんか？

No.5 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2024/05/02 17:54

あなたが書いているのは

∫[0→∞]e^(-ax^2)dx＝∫[0→∞](x)’e^(-ax^2)dx
＝[xe^(-ax^2)]＋2a∫[0→∞]x^2×e^(-ax^2)dx
＝2a∫[0→∞]x^2×e^(-ax^2)dx
のことだと思うけど
初等的というならこのやり方しかなさそう。
もし
積分∫[0→∞]e^(-ax^2)dx＝√π/(2√a)がa＞0にたいして一様収束する
とわかっているなら
両辺をaで微分して
－∫[0→∞]x^2×e^(-ax^2)dx＝－√π/(4a√a)
からも出すことができます。

この回答へのお礼

そなんですね(;_:) ありがとうございます

お礼日時：2024/05/03 13:46

No.4 回答者： rnakamra 回答日時： 2024/05/02 15:41

#2です。

>問題を取り間違えてると思います。

あなたは自分の質問を読み直してみましたか?
どこに"定積分"とか"積分範囲"とか"∫[0→∞]x^2×e^(-ax^2)dx"とか書いてありますか?

書いていない以上、不定積分と考えるのは自然です。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/01 19:03

＞ おもいつかないので、別かいはありませんか？

いや、思いつけよ！って話。
積分なんて、出来たらラッキーの基本無理ゲーなんだから、
部分積分みたいな容易な解法があるときに、
そのことをアリガテェと思わずに
別解ないか？は発想が見当違い過ぎる。

この回答へのお礼

気持ちがわかりません

お礼日時：2024/05/01 20:00

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2024/05/01 18:19

#1です。

#1で言っているのは不定積分の話です。ちゃんと書いてあります。
無限大までの定積分の話ではありません。

この回答へのお礼

問題を取り間違えてると思います。

お礼日時：2024/05/01 20:06

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2024/05/01 16:01

別解もなにも与えられた式の不定積分は初等関数にはならない。

x^n*e^(-ax^2)
の形はnが偶数の場合は不定積分は初等関数にならない。
nが奇数の場合はt=x^2と置換した後に部分積分を行うことで初等関数で表せる形になる。

この回答へのお礼

えとー、
x^ne^-ax^2
がx -> ∞
で0になることを踏まえれば
√π/4a√a
という初等関数になります

お礼日時：2024/05/01 16:41