統計入門書によると、中心極限定理に関して「もし、母集団が正規分布に従っ

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質問者：161016
質問日時：2010/08/19 21:53
回答数：2件

統計入門書によると、中心極限定理に関して「もし、母集団が正規分布に従っているならば、標本の大きさnの大小に関わらず、その平均の分布は正規分布」という記述があります。であるならば、母平均を区間推定する場合、zの値を用いて推定してもいいのかなと思いますが、ほとんどの書籍では、標本の大きさが小さい場合、tの値を用いて推定しています。なぜでしょうか？たぶん、自分がどこかで誤解をしているのだと思いますが、宜しくお願いします。

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No.2ベストアンサー

回答者： okormazd
回答日時：2010/08/19 23:42

中心極限定理は，「母集団が正規分布でなくても，nを大きくすれば，その平均の分布は正規分布に近づく」というものです。

したがって，
「もし、母集団が正規分布に従っているならば，標本の大きさnの大小に関わらず、その平均の分布は正規分布」になります。
だから，
「母平均を区間推定する場合、zの値を用いて推定してもいい」のですが，区間推定する場合，もう1つ必要なものがあります。母集団の分散σ^2です。これがわかっていれば，
√(n)(X'\-μ)/σ
が，標準正規分布に従うので，95%信頼区間では，

X'-1.96σ/√(n)<=μ<=X'+1.96σ/√(n)　　　(標本平均Xバーをかけないので，X'とした)

で，正規分布(Zの値)で推定できます。

が，

普通はσ^2がわからないのです。それで，σ^2の推定量としてσ'^2を使います。　　　(σハットが書けないのでσ'とした)
すると，
√(n)(X'-μ)/√(σ'^2)
は，自由度n-1のt分布に従うのです。

したがって，95%信頼区間は，
X'-t(n-1)(0.025)√(σ'^2/n)<=μ<=X'+t(n-1)(0.025)√(σ'^2/n)
のようにt分布を使う推定になります。

なお，nが大きくなればt分布は標準正規分布に近くなります。