正規分布における標準偏差の求め方

ダーツをダーツボードの中央に向けて投げたときに壁に穴を開ける確率というレポートを書いてます。そこで正規分布を使って確率を求めようとしています。しかしその時に標準偏差をどう求めればいいのかわかりませんでした。この場合でも標準偏差を求める事はできますか？データはあります。

質問者からの補足コメント

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  皆さん丁寧にありがとうございます。
  今僕は海外のインターナショナルスクール（高校）に通っています。自分が無知なのは承知してますがレポートでこれをテーマとして研究することにしました。一度先生に草稿を提出しました。その時に標準偏差の出し方がわからず仮定して計算を行いまいた。しかし先生に自分のデータから標準偏差を出せるなら出せと言われました。ネット等で調べたところさらに混乱してしまい質問させていただいた次第です。補足としましてはNo,1さんがメンションしてくれた、カイ二乗分布のものを使うのか？それともNo,5さんが教えてくれた方法でしかできないのでしょうか？
  基本的に習ってないような事は計算方法として使ってはいけないです。あと、関数電卓も使っていいです。

  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/10/24 23:38

• すいませんNo,5ではなくNo,6さんです。

    補足日時：2020/10/25 00:16

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  すいません質問を読み直してたら僕の説明不足でした。
  レポートでは…
  ー必ず真ん中をめがけてなげる
  ー100回投げた分のデータがあります
  これらを使って計算をしようとしています。
  ダーツボードに当たる当たらないに関してはカイ２乗分布を使おうと思ってます。
  ダーツボード内での確率（シングル、ダブル、トリプルなど）は正規分布で求めようとしていました。
  なので僕は自分の１００回分のデータから標準偏差を出そうとしていました。
  これらは間違っていますか？それとも不可能だったりしますか？
  情報が少ないうえで質問ばかりですいません。

  No.7の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/10/27 01:15

No.7 ベストアンサー 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2020/10/25 10:43

#6です。

現実問題としては、いびつな２次元分布の原点からの距離の標準偏差はモデルを仮定して計算することはできないというのが答えで、アメーバのような形状のままで確率計算を行います。

ダーツでも重力加速度があるので、縦方向の下側にすそ野を引く分布になるのは自明ですが、高校生なら、的の中心を原点とし全方向に等方的に減衰する２次元正規分布になると大胆に仮定（＝無重力）すれば良いのではないでしょうか。

その時は、中心からの距離の２乗の分布はカイ２乗分布になり、さらに２次元のカイ２乗分布は指数分布になります。この指数分布から累積密度を計算すれば、外れ確率が分かります。ここまでが、レポートの解になります。

また、99.7％確率楕円（等方的なら円）を描くこともできます。

ところで、カイ２乗分布の次元数（自由度）をｐとすると、平均はｐ、分散は２ｐですから、そこから平方根を取れば距離の２乗の標準偏差になりますが、一般的にはそんなことはやりません。また、距離の２乗から距離の１乗に直すと、また分布の仮定がおかしくなります。

なお、ｐが非常に大きい時はカイ２乗分布は正規分布に近似できるので、そのときは標準偏差を計算しても良いでしょうが、ｐ＝２では正規分布近似はできません。

No.6 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2020/10/24 02:52

企業で統計を推進する立場の者です。

博士（工学）です。

皆さん色々と書かれていますが・・・。

これは既に研究されているテーマです。工業の世界では位置度の工程能力という有名な問題です。「位置度」というのは幾何公差（JIS B 0621）として定義される加工の際の要求精度を表す数値の一種です。

もし、可能であれば、仁科健（2009）：『統計的工程管理～製造のばらつきへの新たなる挑戦～』，朝倉書店　の133ページをご覧になって下さい。

研究例として、Kotz and Lovelace（1998）やTaam et.al.（1993）の提案がまさにダーツの刺さった打点のようなプロットとともに紹介されています。しかし、「今のところ、これと言った決め手はない」Wang et.al.（2000）と結論付けられています。

つまり、分布を仮定して（的となる円内からの）外れ確率を求めることは不可能だというのです。工業的には工程能力指数が求められ、規格外れ確率が予測できるのが理想ですが、それが出来ないのです。（等高楕円になる等の大胆な仮定を入れてしまえばできます。）

現状では、分布を仮定せず以下のようにデータドリブンで行います。

①ｎ＝100程度のサンプルの座標プロットを取得
②１辺20程度のグリッドに分割して度数を算出
③カーネル密度関数法あるいはカーネル密度推定法と呼ばれるフィッティングを用い密度関数を算出
④規格内となる領域の密度を数値積分し、それが最大となるように原点補正する
⑤最後にその最大となった確率を１から引いて規格外確率を求める

この計算は、プログラミングの知識が無いとできませんが、Ｒでは数行の簡単な処理です。ダーツが刺さった位置座標として100程度のデータがあるのなら計算可能です。挑戦してみてはいかがでしょうか。

レポートは、仁科先生の本を読んで理解したことをまとめれば良いと思います。

注）④のプロセスは、工業においては設備の「チューニング」という操作です。ダーツも、いつも下振れしているのなら、的を下に動かせばいいでしょ。

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2020/10/23 17:12

> データはあります。

過去に生じたデータを取りまとめるのは統計であって、確率じゃありません。統計に基づいて確率を推定するには、様々な仮定が必要になります。

> ダーツをダーツボードの中央に向けて投げたときに壁に穴を開ける確率

　1時間も練習すれば、壁に穴を開けることなどなくなるでしょう。で、厳密には「何の」確率の話をしているんですか？
　要するに決定的な問題は、レポートの厳密な research question が書けていない。すなわち、実験の条件が不明確なので、確率を論じるどころか、再現性のあるデータを取ることすらできない、というところにあるんです。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2020/10/23 15:41

No.3 です。

ちょっと追加。

#2 さんが書かれている「不偏分散」は、「母分散」を推定するときに、母平均が不明なので代わりに「サンプル平均」を使って「母分散」を推定するときに使います。
なので、今回のような場合には関係しないと思います。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2020/10/23 15:16

No.1 です。

間違いだったようなので、訂正します。

ランダムな投てきで「的の中心」の周りに正規分布して当たる事象で、分布の平均（母平均）が「的の中心」と分かっている場合で、限られたサンプルから「分散」を推定する場合には、「カイ2乗分布」というものを使うのが正解です。

具体的には、下記の事例を参考にしてください。「母平均が既知の場合」に相当します。
↓
https://mathtrain.jp/bobunsan
https://bellcurve.jp/statistics/course/9212.html
https://data-science.gr.jp/theory/tbs_variance_e …

そこで求めた「母分散の推定値」（ピンポイントにはならず「範囲」になります）の平方根が「標準偏差の推定値」になります。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/10/23 14:36

これでも読んでください。

↓
https://ai-trend.jp/basic-study/basic/standard-d …
ここで正規分布(母分布)の標準偏差の推定量として使うべきは、
中学高校の教科書に出てくる標準偏差ではなく、不偏標準偏差のほうです。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/10/23 14:34

＞データはあります。

だったら、そのデータから求めればよいです。
各試行は独立でランダムということが条件ですが。

中心からの距離が正規分布するとして、中心からの距離の2乗の平均値を求めればそれが「分散」ですから、その平方根が「標準偏差」になります。