m,nを自然数とし、原点を中心とし点A(m,n)を通る円を考えます。

m,nを自然数とし、原点を中心とし点A(m,n)を通る円を考えます。
この円周上にある格子点(x座標,y座標ともに整数となる点)は
　・点A
　・y=xに関して点Aと対称な点B(n,m)
　・y軸に関して点Aおよび点Bと対称な2点
　・x軸に関して点Aおよび点Bと対称な2点
　・原点に関して点Aおよび点Bと対称な2点
　・√(m^2+n^2)が整数のとき、x軸やy軸上と交わる4点
のみでしょうか?

条件により上記以外の格子点を通る場合もあるのでしょうか?

No.2 ベストアンサー 回答者： nag0720 回答日時： 2010/09/03 22:29

＃１で示した式は、

m^2+n^2=p^2+q^2=k^2
の形でしたが、=k^2の部分は不要でしたね。

m^2-q^2=p^2-n^2
(m+q)(m-q)=(p+n)(p-n)

とすれば、例えば、
120=2*60=4*30=6*20=10*12
(m,q),(p,n)の組み合わせは、
(29,31)、(13,17)、(7,13)、(1,11)
より、
29^2+17^2=31^2+13^2
29^2+13^2=31^2+7^2
29^2+11^2=31^2+1^2
13^2+13^2=17^2+7^2
13^2+11^2=17^2+1^2
7^2+11^2=13^2+1^2

というように、いくらでも考えられます。
名前が付くような問題ではないでしょうね。

この回答への補足

回答ありがとうございます。
ピタゴラス数の話と勘違いしていたようです。

では、任意の自然数m,nについてm^2+n^2=p^2+q^2を満たすような
正の有理数p,qの組み合わせを見つけることは可能ですか?
更に言いますと、数学的な要求でなくてすみませんが
できればp,qは小数第3位くらいまでで表せる数だと一番いいのですが。

補足日時：2010/09/04 00:33

No.1 回答者： nag0720 回答日時： 2010/09/03 21:23

m^2+n^2=p^2+q^2

となるm,nとは異なる自然数p,qが存在すれば、点(p,q)も通ります。

例えば、
24^2+143^2=17^2+144^2

この回答への補足

回答ありがとうございます。
他に存在する場合があるんですね。

この辺の分野って、ピタゴラスとかフェルマーとかの話の
超低レベル版のような気がするのですが
私の問い(と同値なもの)は名前が付いてたりしますか?

補足日時：2010/09/03 22:18