(1)m＞n≧1を満たす整数m,nに対して次式が成り立つことを証明せよ

(1)m＞n≧1を満たす整数m,nに対して次式が成り立つことを証明せよ
(nＣn)+(n+1Ｃn)+(n+2Ｃn)+……(mＣn)=(m+1Ｃn+1)

(2)2n個の整数 1,2,3,……2n-1,2n を無作為にn個ずつの集合に分けると、一方の集合に含まれる最大値は 2n である。もう一方の集合に含まれる最大値をXとして、Xの期待値を求めよ。

教えてくださいお願いします

No.5 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/10/02 12:46

#3です。

#4さんがほとんど答えを出してくださっているようですが。＾＾；

＞(１)に関してですが、帰納法ですか？
＞これは、ｎは固定されているとみなせるのでしょうか
組合せＣの前の数だけが変化しているので、nは固定されているとみて構いませんよ。
そうすれば、前の数は n+ k（ただし、kの範囲に注意）となりますね。


(2)のグループ分けについて、考え方（というよりも検討の付け方）はいくつかあると思います。

【検討１：大きな数から除外していく方法】
#1で「2n-1があれば X＝ 2n-1ですね。」と書きましたが、
X＝ 2n-2となるときを考えると、「2n-1はグループに存在せず、2n-2があるとき」となります。
以下、上の方の数字から除外していくことを考えます。

【検討２：大きな数までを取り出す方法】
たとえば、X＝ 2n-5となったとします。
残りの n-1個の数は、2n-6以下の数を n-1個選び出せばいいことになります。

計算の方法を考えると、検討２の方が簡単だと思います。
#4さんの回答も、こちらの内容になると思います。
(1)の計算結果とも結びつきそうですね。

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2010/10/02 01:34

(1) 中学生向け：

No.1 ～ No.m+1 の物の中から n+1 個を選ぶとき、
選んだ内で番号最大の物が No.n+1 であるような選び方は nＣn 通り。
選んだ内で番号最大の物が No.n+2 であるような選び方は (n+1)Ｃn 通り。
選んだ内で番号最大の物が No.n+3 であるような選び方は (n+2)Ｃn 通り。
…
選んだ内で番号最大の物が No.m+1 であるような選び方は mＣn 通り。

No.3 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/10/02 01:32

#1です。

＞○○法、とはなんなんでしょうか
等式や不等式の証明をするときに、よく使われる方法です。
真正面には証明できないような式を証明するときって、どうするんでしたっけ？

＞(２)に関しては１時間ほど考えましたが全くの手詰まりです
＞解答お願いします＞＜
1時間は、どのように考えたのでしょうか？
そして、#1でヒントも少し書いているのですが・・・
もう考える気力ないですか？

もう少し突っ込んだヒントを出しておくと、Xのとり得るもっとも小さい値は nです。
このときのグループ分けは、どのようになっているでしょうか？


このような問題は、具体的な数字（n＝ 1, 2, 3ぐらい）を代入して考えるのも一つの手法です。
（そこから規則性を見出す）

この回答への補足

(１)に関してですが、帰納法ですか？
これは、ｎは固定されているとみなせるのでしょうか

(２)に関しては、実験してもう少し考えて見ます

補足日時：2010/10/02 01:38

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/10/02 01:17

(1) だけ: (x+1)^n + ... + (x+1)^m = [(x+1)^(m+1) - (x+1)^n]/x.

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/10/02 01:11

こんばんわ。

まずは、どこまで考えたかを書いてみてください。
考え方だけでも合っていれば、それはそれでいいことですし、
間違っていればきちんと指摘してもらえると思います。

たとえば、
(1)ならば、nは固定されたままですから定数扱いにして、○○法を使う方法が考えられますよね。
式の変形でも示すことはできるかもしれません。

(2) 2nと違うグループに、2n-1があれば X＝ 2n-1ですね。
以下、このようにシミュレートしてから確率がどうなるかを考えてみてください。

この回答への補足

こんばんわ

(１)に関してはとりあえず(右辺)から、最終的に(左辺)からなにをしめせばいいか、ということを考えつつ(左辺)を分解していきました。すると分母に(n＋1)！をつくったところで手詰まりとなりました
○○法、とはなんなんでしょうか

(２)に関しては１時間ほど考えましたが全くの手詰まりです
解答お願いします＞＜

補足日時：2010/10/02 01:19