f(x)=2x^3+ax^2+bx+5がx=－1，2で極値をとるとき、

f(x)=2x^3+ax^2+bx+5がx=－1，2で極値をとるとき、a，bの値を求めよ。
という問題で、解答では、『f'(x)=0は異なる2解をもつので確かにx=－1，2で極値をとる。』という記述があるのですが、これはどうして必要なのでしょうか？また、これが書いてある参考書がセンター対策の本であるため、上の記述は『センターでは不要ですが…』といった感じで本文のわきに書いてあり、解答中のどこに入るべきものなのかもわかりません。
教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2010/10/10 22:12

微分可能な関数 f(x) について、

f ' (a) = 0 は、f(a) が極値であるための必要条件でしかない。
例えば、f(x) = x^3 の場合に、
f ' (0) = 0 だが、f(0) は極値でない。

だから、記述式の答案では、
f ' (x) = 0 の解 x を求めた後で、その各 x において
f(x) が極値であるかどうかを確認しなければならない。

『 f ' (x) = 0 は異なる 2 解をもつので、確かに x = -1, 2 で極値をとる。』
という書き方は、三次関数の導関数が異なる 2 個の根を持つとき、
その 2 個はどちらも極値点である…という知識を用いている。
あるいは、やや一般化して、多項式の導関数が重根を持たないとき、
導関数の根はどれも、もとの多項式の極値点である…という知識を。
それが証明を付記せずに答案に書いてよい定理なのかどうかは、微妙だと思う。

『 x = -1, 2 の前後で、f ' (x) の符号は確かに変化しており、
f(-1), f(2) は極値である。』程度の書き方が、無難であるような気がする。
これを、f ' (x) = 0 を解いて x = -1, 2 を求めた後の位置に書いておく。

『センターでは不要ですが…』というのは、選択式のテストでは、
答えの値さえ得てしまえば、証明もヘッタクレも必要ないから。(不毛だねぇ。)

No.1 回答者： noname#119424 回答日時： 2010/10/09 18:36

>>解答では、『f'(x)=0は異なる2解をもつので確かにx=－1，2で極値をとる。

』
この理論は間違っている。だってf(x)=2x^3+ax^2+bx+5がx=－1，2で極値をとるとき
って仮定しているわけですから。