回転体の体積

aを0＜a＜1/4を満たす実数とする。ｘｙ平面で不等式
y^2≦x^2(1-x^2)-a
の現す領域をｙ軸周り回転させた回転体の体積を求めよ。

図形の概形がまずわからないのですが、ｙ軸対称、ｘ軸対称、原点対称ぐらいしかわからないです。

まずどうやって概形を求めればいいのでしょうか？ヒントでお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： noname#24477 回答日時： 2003/08/28 12:24

＃２の考え方が分かりやすいかなと思いますので

横から少し訂正と補足をさせてもらいます。

y≦√{x^2(1-x^2)-a}
あるいは
-y≧-√{x^2(1-x^2)-a}

この部分が少し違って
-√{x^2(1-x^2)-a} ≦y≦√{x^2(1-x^2)-a}
でしょう。

しかし第１象限では＋の部分だけでいいので
＃２の進め方はそのまま使えます。

グラフは０＜ｘ＜１の間でｘ軸と交点を２つ持ちます。
積分には必要ないかもしれませんが
ｙ＝０と置いて交点を求めてみてください。
4次式ですが特殊な形ですから解の公式が利用できます。
（x^2＝Xと置けばよい・・・余計なヒント？）
するとa<1/4という条件もなんとなく納得できるでしょう。
交点が２つあるということです。
で、このグラフをｘ軸対称に貼り付けると卵型になります。
この内部ですね。
これをｙ軸のまわりに回転すればリングドーナツです。

No.5 回答者： i536 回答日時： 2003/09/13 10:10

概略でいいのでしたら、#1のkony0さんの方法がいい

と私は思います。

x^2=X, y^2=Yとおけば、X>=0,Y>=0で与式は次のようになります。

Y≦X(1-X)-a
∴Y≦-(X-1/2)^2+(1/4-a)=-(X-1/2+√(1/4-a) )(X-1/2-√(1/4-a))---(1)

(1)は、頂点(1/2,1/4-a),X軸との交点が1/2-√(1/4-a),1/2+√(1/4-a)
の放物線に囲まれた第１象限内の領域です。

あとは、条件0＜a＜1/4から、
0<1/4-a<1/4,　0<1/2-√(1/4-a)<1/2,　0<1/2+√(1/4-a)<1
に注意して、X,Y座標の主な座標を平方根を使って求めて
x,y座標に写し、写した座標を滑らかに接続します。

No.4 回答者： ticky 回答日時： 2003/08/28 12:37

＃２です。

＞y≦√{x^2(1-x^2)-a}
＞あるいは
＞-y≧-√{x^2(1-x^2)-a}
＞
＞この部分が少し違って
＞-√{x^2(1-x^2)-a} ≦y≦√{x^2(1-x^2)-a}
＞でしょう。

確かにそうですね。
-y≧-√{x^2(1-x^2)-a}　<=> y≦√{x^2(1-x^2)-a}
ですし、マイナスはずしたのなら
y≧-√{x^2(1-x^2)-a}でないとおかしいですね。

ごめんなさい。

＃これでよく国立受かったなぁ。恥ずかし。

この回答への補足

まずは考えてみます。また後日報告します。

補足日時：2003/08/29 01:14

No.2 回答者： ticky 回答日時： 2003/08/28 05:13

y^2≦x^2(1-x^2)-a

<=>
|y|≦|√{x^2(1-x^2)-a}|
<=>
y≦√{x^2(1-x^2)-a}
あるいは
-y≧-√{x^2(1-x^2)-a}
であってるかなぁ。

まず、y = x^2(1－x^2)の概形を考えます。頭が上に飛び出した二次関数によく似た形ですね。
すると、y = x^2(1－x^2)－aの形も分かるので、
これを√、-√に入れてみます。

√に入れるとは、どういう事かというと、
まず、y=√xを考えてください。これは特徴的なグラフですね。
これは、y = x（但し、x >= 0です。これも特徴的なグラフです）を√に入れて、変形した物だと考えることができます。
右上にすぃっとのびていくが、くいっと曲げられたわけです。

同じように、y = x^2(1－x^2)－aを
変形させればいいのです。
だいだい逆さの二次関数をほんのすこし、平べったくしたような形になるんじゃないでしょうか。

あとはx軸より上に飛び出た部分を、上下対象、左右対称になるように、コピーすればいいですよね。

頑張ってください。

No.1 回答者： kony0 回答日時： 2003/08/28 03:39

横軸x^2, 縦軸y^2の座標軸をとると（第1象限だけ考えることにします）放物線の先っちょがちょろっとだけあるような図になるかと思います。

あとは完全にイメージの世界ですが、この座標系をx-yの（通常の座標軸に）引き伸ばすと（原点に近いところではいっぱいのばされ、原点から遠くなるにつれて「ひきのばし率」が弱くなるイメージ・・・うまく伝わるでしょうか？）第1象限上では左側がなだらか、右側が急なカーブ（ひらがなの「つ」の字をちょっと反時計回りに回して立てたようなイメージ^^;）になるかと思います。
あとはそれをｘ軸対称、ｙ軸対称、原点対称でコピーしてやる感じ・・・

極めて直感的ですが、これじゃだめですか？