【数学基礎】漸化式と再帰的定義

漸化式とよばれる式と、再帰的定義とよばれる式の区別ができません。

例えば（ご説明で他の適した例があれば、ご紹介ください）、

フィボナッチ数列でいえば、
F(n)=F(n-1)+F(n-2)　(2≦nの場合),F(0)=0
であったり、
階乗であれば、
n!=n×(n-1)! n (n=1,2,3,...の場合)　n!=1（n=0の場合）
といった式の説明に対して
「これは漸化式である」であったり「これは再帰的定義である」という
記述を散見します。

私のイメージとしては、
・漸化式は一般式を求める前段階の式
・再帰的定義は左辺を右辺で定義している式
です（上記認識が誤りであれば、ご指摘くださいませ）。

私が混乱しているのは、
一つの式を「漸化式である」であったり「再帰的定義である」と
表現してみたりする判断基準がわかりません。
「なんとなく」文脈で使い分けているようにも思えるのですが、
曖昧なまま学習を進めることに不安を感じており、質問させて
いただきました。

漸化式と再帰的定義についての違いについて教えて下さいませ。

よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： momordica 回答日時： 2011/01/19 13:16

「漸化式」と「再帰的定義」は、別にどちらであるか判別すべき対立概念では

ないように思いますが。
名前の通り、「漸化式」は式の名称、「再帰的定義」は数列の定義の仕方の
名称でしょう。

数列を定義するとき、各項の値を直接定めるのではなく、それぞれの項を
他の項の値から間接的に定めるルールだけを用意し、最初のいくつかの
項の値から次々とドミノ倒しのように値が定まり、結果として数列全体が
一意に定まるようにする定義の仕方をするとき、これを「再帰的」な定義
と呼びます。

そして、このように数列を再帰的に定義する際などに用いられる、数列の
多項間の関係式を「漸化式」と呼ぶのだと思います。

ですから、例えば、お示しのフィボナッチ数列の例であれば、

「数列F(n)は、漸化式
　　F(n)=F(n-1)+F(n-2)　(2≦nの場合),F(0)=0
　により、再帰的に定義される」

ということであり、これが「漸化式」と「再帰的定義」のどちらであるかなどと
考えることは無意味であると思います。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

無意味なことに悩まされていたことに気付かされました。
式の名称と、定義の仕方の名称なので、対立する概念では
ないことが理解できました。

改めて御礼申し上げます。

お礼日時：2011/01/19 15:20

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/01/19 11:10

まず, もっとシンプルに

a=b
という式であっても, 「a と b との間の関係」とも見えるし「(b を使った) a の定義」とも見える. これと同じことで, 「漸化式」というと「左辺と右辺の関係」, 「再帰的定義」というと「左辺を右辺によって定義する」というイメージになるんじゃないかな. 状況的にはどっちでもいいことも多いと思う.
ちなみに「再帰的定義」と「帰納的定義」は全く同じ (同じ英語に違う訳が付いただけ).

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

少し混乱が生じてしまいました。

「漸化式」を「左辺と右辺の関係」と捉えると、
すべての恒等式は漸化式になるとは思いづらい
からです。「すべての恒等式は漸化式である」と
いう公理があれば別ですが・・・。

再帰的定義についても同様で、「左辺を右辺に
よって定義する」という公理があれば、納得が
いくのですが・・・。

「再帰的定義」＝「帰納的定義」であるとは
知りませんでした。ありがとうございます。

お礼日時：2011/01/19 13:28