共振と離調について

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１＝交流電源＝E
２＝インダクタンス＝L
３＝コンダクタンス＝C
４＝抵抗＝R

と言う回路があります。Rがある値の時の共振曲線があります。（周波数が0kHzの時に100mAですあとは周波数が増減するとmAは減少します。）
そして図のRを６Ωのものに取り替えて、電源周波数を共振周波数から２０kHz離調させたときの回路の電流がいくつになるかを考えたいのです。電源電圧は１Ｖに保たれるモノとして考えます。

どのように考えていけばいいのでしょうか？具体的に考え方が分からないので式もたてれません。
答えよりも、考え方を教えて欲しいです。

No.3 ベストアンサー 回答者： Teleskope 回答日時： 2003/09/19 23:29

　

　　Ｚ ＝ R + ｊ ( ωＬ - 1/ωＣ )
上式の回路定数を共振曲線上に図示してみると奇妙なものになります。すなわち共振曲線と回路定数の対応は素直ではないので
>>どのように考えていけばいいのでしょうか？
>>具体的に考え方が分からないので式もたてれません。
と嘆くことになります。プロは共振曲線を特徴づける変数（山形の鋭さや幅）で上式を変換したものを使うのでそれを教えましょう。それは三点、
第一はＱ、すなわち Quality of resonation同調品質Ｑ
＝ωoＬ/Rを使う。ωoは共振周波数 1/(２π√LC)です。
第二はωの代わりに正規化周波数 Ω＝ω/ωo を使う。共振時Ω＝1です。
これらで置き換えると
　　Ｚ ＝ R(１+ｊＱ( Ω－1/Ω))
これが実戦仕様の姿；ためしに共振時のΩ＝1を代入すれば虚数項＝0となりＺ＝R となります。
第三は電流が共振時よりも3デシベル減少すなわち1/√2になるΩの値を使う。
電流＝電源電圧/ＺだからＺが√2倍になる事と同値。
１+ｊＱ( Ω－1/Ω)の虚数項がプラスマイナスどちらに増えても√２倍になり得るので
１±ｊＱ(Ω-1/Ω) と書き、これの絶対値が√2になるΩを求める。２次式が２つになり４つ解のうちΩ>0が実現可能解なので
　　Ω(-3db)＝√(1+1/(4Ｑ^2))±1/(2Ｑ)
の２つが該当する。-3dBは下添字で書かれる。ちなみに-3dB＝1/√2≒0.707は暗記する価値がある。共振曲線が70.7%に下がった所の周波数(それは左右に2つある)を読み取れば上式からその回路のＱが計算できるのである。上式をＱ＝の式にするのは君にまかせよう。実現可能解は常に>0だ。(*)

質問にある共振周波数は0kHzは誤記だろうね。たぶん100kHzかな？
与えられた共振曲線図から直ちにＱが計算できる。そして共振時はＺ＝Rであるから電流100mAと電源電圧1VからＲ＝10オームと計算される。Rが６オームに変わるとＱ＝ωｏ/Rの式から新しいＱは古いＱの10/6倍だと分かる。20kHzの離調とはプラスなのかマイナスなのか書いてないがいずれにせよΩは簡単に計算できる。そして実戦仕様の式で完了かな？


(*)補足；仮にＱの値が10より大きい場合は、
Ω(-3db)＝√(1+1/(4Ｑ^2))±1/(2Ｑ)の式の√内は、1+(0.0025以下)になるからほぼ１としてよく、Ω(-3db)＝1±1/(2Ｑ)が良い近似式となる。共振状態はΩ＝1だから1/(2Ｑ)の項は共振点からの離調です。すなわちΔΩ＝1/(2Ｑ)。Ωをωに戻して書けばΔω/ωo＝1/(2Ｑ)であるから
　　Ｑ＝ωo/(2Δω)＝fo/(2Δｆ)
となる。すなわち共振周波数ｆｏと、そこから3dB下がった所の周波数距離Δｆを大まかに読めばおよそのＱが暗算できる。それが10より十分大きかったらこの近似式で十分であり不足なら君にまかせたＱ＝の式を用いる。
　

No.2 回答者： KENZOU 回答日時： 2003/09/17 11:49

keyguiさんが答えられていますので以下は要点の補足です。

＞どのように考えていけばいいのでしょうか？具体的に考
＞え方が分からないので式もたてれません。
＞答えよりも、考え方を教えて欲しいです。

交流信号の場合、直流信号の抵抗に相当するものとしてインピーダンス(Ｚ)という複素量（※）を考えます（これはベクトル量）。詳しいことは然るべきテキストを参照されるとして、抵抗（Ｒ）やコンデンサ（Ｃ）、コイル（Ｌ）のインピーダンスはそれぞれ次のように書かれます。
素子　　インピーダンス（Ｚ）　　
Ｒ　・・・　Ｚr＝Ｒ　　　　　
Ｃ　・・・　Ｚc＝1/jωＣ　　　　　　　　
Ｌ　・・・　Ｚl＝jωＬ
問題の回路のトータルインピーダンス（Ｚ）はこれら素子の直列インピーダンスとなりますから各インピーダンスを単純に足し合わせればよいことになります。つまり
Ｚ＝Ｒ＋1/ｊωＣ＋jωＬ　　(1)
ですね。次に、Ｚの大きさ｜Ｚ｜ですが、これは複素ベクトルの大きさを求める要領（実部の2乗にｊを除いた虚部の2乗を加え全体を平方する）で
｜Ｚ｜＝√(Ｒ^2＋(-1/ωＣ＋ωＬ)^2　　(2)
となりますね。
インピーダンスという概念を使うと交流の場合も直流でおなじみのオームの法則が使えますから、回路を流れる電流をＩ、交流電圧をＥ（これらは共にベクトル量）とすれば
Ｉ＝Ｅ／Ｚ＝Ｅ／(Ｒ＋1/ｊωＣ＋jωＬ)　　(3)
となります。電流Iの大きさは従って
｜I|＝｜Ｅ/Ｚ｜＝｜Ｅ｜/｜Ｚ｜
　　＝｜Ｅ｜/√(Ｒ^2＋(-1/ωＣ＋ωＬ)^2　(4)
と計算できます。ところで(4)式の分母第２項をみると
-1/ωＣ＋ωＬ＝０　　(5)
となるωが存在するわけで、そのωをとると電流は途端に大きく流れ出すことになります。これを共振現象と呼び、その周波数(f＝ω/2Π)を共振周波数と呼んでいます。

(※)何故複素量を考えるのかについては、交流信号は振幅と位相という２つの独立した物理量を持っているからです。この辺は複素数の極形式という表現をを少し調べれば納得できる思います。

No.1 回答者： keyguy 回答日時： 2003/09/17 10:22

Ｅを複素数表現の電圧とすると

複素数表現の電流Ｉは
Ｉ＝Ｅ／（Ｒ＋ｊ・ω・Ｌ＋１／（ｊ・ω・Ｃ））
です。
ただしｊは虚数単位でω＝２・π・ｆです。
Ｉの大きさ｜Ｉ｜は
｜Ｉ｜＝｜Ｅ｜／√（Ｒ＾２＋（ω・Ｌ－１／（ω・Ｃ））＾２）
共振はω・Ｌ－１／（ω・Ｃ）＝０のときです。