万有引力に関する問題について

問題が解けないということではないのですが，解法や問題の解の解釈がうまく出来ないので質問させていただきました。
以下問
地球の中心からrだけ離れた地点で地球に向かってv0の速度で動いている隕石がある。この隕石が地表に落ちてくる時の速度vを求めよ。ただし，地球以外天体の影響および空気抵抗は無視する。地球の半径をR、地球の質量をM、万有引力定数をGとする。

質問一つ目
エネルギー保存則を使えば解ける問題と言うのは分かるのですが，運動方程式から導出した微分方程式では解けないのでしょうか？以下のように速度に関する微分方程式を求めたところまではやってみたのですが、その後の変数分離の仕方が分かりません
d(dr/dt)/dt = GM/r^2
dr/dt = GM/r^2*t + v0

質問二つ目
この問題の解が√(v0^2+2GM(1/R-1/r))なのですが，この解ですと地表に近づくほど隕石の速度が終末速度v0になるまで落ちてしまいます。実際にこういうことが起こるのでしょうか？だとしたらなぜなのでしょうか？地表に落下してくる物体が減速していくというのがいまいち納得がいかないのですが・・・

質問三つ目
この問題に関してではないのですが，万有引力などの保存力を議論する際になぜ無限遠方を基準とするのでしょうか？数学的には解の発散を避けるためであると言うのは分かるのですが，物理的な現象としてイメージがいまいち掴めません。

どなたかよろしければご教授ください。

No.3 ベストアンサー 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2011/03/24 10:55

1つ目については既に答えが出ているとおり、r=r(t)ですね。

2つ目については、Rもrも定数であることを忘れています。
rは初期位置です。任意の位置をr'、速度をv'とすると、同様に解いて

v'(r') = √[ v0^2+2GM(1/r'-1/r) ]

今の場合、r'はrより小さいのでルートの中の第2項は正なので

v'(r') > v

でちゃんと加速されています。ちなみに、

r'=rならv'(r'=r) = v0
r'=Rならv'(r'=R) = √(v0^2+2GM(1/R-1/r)) = v

三つめですが、余計な定数項はないほうがいいと思いませんか？
位置エネルギーの原点は任意の位置に取ることができますが、
一番簡便な場所に取るのがセンスと言うものです。

バネの位置エネルギーだって原点はどこに取ったってかまわないのですが、
普通はポテンシャルの底が0になるように取ります。
余計な定数項が出てこずに簡便に扱えるからですね。

この回答へのお礼

お返事ありがとうございます。

各質問に対して懇切丁寧に途中の理論まで説明してくださってとても助かります，とても勉強になりました！

お礼日時：2011/03/24 20:43

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/03/22 16:11

とりあえず 1つ目だけ, だけど,

d(dr/dt)/dt = GM/r^2
から
dr/dt = GM/r^2*t + v0
にはならないのでは? r は t の関数だよね?

この回答へのお礼

お返事ありがとうございます。
ご指摘していただいてようやく気付きました、確かにおかしいですね；
そもそもの考え方が根本的に間違っているようです，再考してみます。

お礼日時：2011/03/22 17:02

No.1 回答者： buturikyou 回答日時： 2011/03/22 16:04

「質問１」

た易く解ける方法で解く、それだけです・・、手計算なんてそんなものです。アナタは存外に優秀である可能性がありますから、できたらもっと頑張ってください！


「質問２」

この場合のｖ0は終末速度でなくて“初速”ですよ！しっかりしてください・・。アナタの言う「地表に近づく」は「出発点が地表に近づく」ですから、そりゃ「初速ｖ0に近づく」のですが？


「質問３」

ならばアナタ自身が他の基準点で計算して便利さとか優位さとかをアピールすべきことです。私見ではそれほどのことはないぞ存じます・・。

この回答へのお礼

お返事ありがとうございます。

>「質問１」
>
>た易く解ける方法で解く、それだけです・・、手計算なんてそんなものです。アナタは存外に優秀であ>る可能性がありますから、できたらもっと頑張ってください！

興味本位で運動方程式の観点から解けるだろうかという理由だけだったのですが，思いのほか意味がなかったのかもしれませんね。

>「質問２」
>
>この場合のｖ0は終末速度でなくて“初速”ですよ！しっかりしてください・・。アナタの言う「地表に近
>づく」は「出発点が地表に近づく」ですから、そりゃ「初速ｖ0に近づく」のですが？

終末速度という言い方はｒ → Rのときにｖがv0に収束するというつもりでしたが確かに不適切でした；
そしてrのことはお恥ずかしい限りです，rは変位でなく初期位置でしたね；

>「質問３」
>
>ならばアナタ自身が他の基準点で計算して便利さとか優位さとかをアピールすべきことです。私見
>ではそれほどのことはないぞ存じます・・。

提案とかそこまで深い意味はなかったのですが・・・初学者なもので単純になぜだろうと思った次第です。

お礼日時：2011/03/22 17:16