集積点の定義について

松坂和夫先生の解析入門３（岩波書店、ラングの本とは別）を読んでいます。

P63に集積点の定義があります。

Xを距離空間とし、AをXの部分集合とする。Xの点aがA－｛a｝の触点であるとき、すなわち、

a∈（A－｛a｝）の閉包 が成り立つとき、aはAの集積点とよばれる。

となっています。

閉包の定義ですが、同書P53に

定義 Aの内点または境界点である点を触点といい、Aの触点全部の集合をAの閉包という。

とあります。

ここからが疑問ですが、

上の定義によれば（A－｛a｝）の閉包というのはA－｛a｝の内点または境界点ということになります。

ところが、aはA－｛a｝の内点ではありません。なぜなら、もしaがA－｛a｝の内点であるとすると、あるr>0に対して、ｒ近傍Ｂは、 Ｂ（a；ｒ）⊂A－｛a｝となりますが、右辺はaを含みませんので成り立ちません。

すると（A－｛a｝）の閉包というのは、境界点のみを含むとなってしまいますが、私の推論は正しいでしょうか。「（A－｛a｝）というのは、境界点のみの集合」とはじめから言えばいいことのように思えるのです。精査よろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： noname#133363 回答日時： 2011/05/04 20:18

もしかして、聞きたいことは「aはAの集積点⇔aはA-{a}の境界点?」ですか。

この回答への補足

その通りです。質問が回りくどくてすみませんでした。

補足日時：2011/05/04 20:48

No.2 回答者： noname#133363 回答日時： 2011/05/05 15:24

質問が回答1の意味なら、答えはyesです。

理由はあなたが考えてるとおり、A-{a}の閉包はA-{a}の内部と境界の直和であり、aがA-{a}の内点ではありえないこと、です。

この回答へのお礼

これで気持ちがすっきりしました。どうもありがとうございました。

お礼日時：2011/05/10 14:25