松坂和夫先生の解析入門3(岩波書店、ラングの本とは別)を読んでいます。
P63に集積点の定義があります。
Xを距離空間とし、AをXの部分集合とする。Xの点aがA-{a}の触点であるとき、すなわち、
a∈(A-{a})の閉包 が成り立つとき、aはAの集積点とよばれる。
となっています。
閉包の定義ですが、同書P53に
定義 Aの内点または境界点である点を触点といい、Aの触点全部の集合をAの閉包という。
とあります。
ここからが疑問ですが、
上の定義によれば(A-{a})の閉包というのはA-{a}の内点または境界点ということになります。
ところが、aはA-{a}の内点ではありません。なぜなら、もしaがA-{a}の内点であるとすると、あるr>0に対して、r近傍Bは、 B(a;r)⊂A-{a}となりますが、右辺はaを含みませんので成り立ちません。
すると(A-{a})の閉包というのは、境界点のみを含むとなってしまいますが、私の推論は正しいでしょうか。「(A-{a})というのは、境界点のみの集合」とはじめから言えばいいことのように思えるのです。精査よろしくお願いいたします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
もしかして、聞きたいことは「aはAの集積点⇔aはA-{a}の境界点?」ですか。
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