大至急お願いします！

∫（-π～π）SinmxCosnxdx=0
を示してください！
よろしくお願いします！

No.3 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2011/06/15 15:45

m,nは整数と書いてないですが、違いますか？

そうだと考えて話を進めます。

#1さんの方法だと説明だけで完了ですね。
つまり、cos(nx)が偶関数、sin(mx)が奇関数なので、積をとった
被積分関数　sin(mx)cos(nx)は奇関数となります。奇関数を±対称区間（-π～π）で
積分すれば、質問の定積分は=0となります。

もう少し、計算を含む別解を書いておきましょう。
三角関数の積和公式を利用して
　I=∫(-π～π）sin(mx)cos(nx)dx
　 =(1/2)∫(-π～π）{sin(m+n)x+sin(m-n)x}dx　…(A)

m+n=0のとき　∫(-π～π）sin(m+n)x dx=∫(-π～π）0 dx = 0
m+n≠0のとき　∫(-π～π）sin(m+n)x dx = 0(∵奇関数の対称区間での積分)
m-n=0のとき　∫(-π～π）sin(m-n)x dx=∫(-π～π）0 dx = 0
m-n≠0のとき　∫(-π～π）sin(m-n)x dx = 0(∵奇関数の対称区間での積分)
なので
全ての整数m,nについて（A）の積分は
　I=0
となります。
　

No.2 回答者： sanori 回答日時： 2011/06/15 15:09

こんにちは。

うまいやり方がよくわからないんで、オイラーの公式を使っちゃいます。

ｅ^(iθ)　＝　cosθ　＋　ｉsinθ
より
ｅ^(-iθ)　＝　cosθ　－　ｉsinθ
ｅ^(iθ)　＋　ｅ^(-iθ)　＝　２cosθ
ｅ^(iθ)　－　ｅ^(-iθ)　＝　２ｉsinθ

sinｍｘ　＝　（ｅ^(imx)　－　ｅ^(-imx)）／２ｉ
cosｍｘ　＝　（ｅ^(inx)　＋　ｅ^(-inx)）／２

sinｍｘcosｍｘ　＝　｛（ｅ^(imx)　－　ｅ^(-imx)）／２ｉ｝｛（ｅ^(inx)　＋　ｅ^(-inx)）／２｝
　＝　－ｉ／４（ｅ^(imx+inx)　＋　ｅ^(imx-inx)　－　ｅ^(-imx+inx)　－　ｅ^(-imx-inx)）
　＝　－ｉ／４（ｅ^(i(m+n)x)　＋　ｅ^(i(m-n)x)　－　ｅ^(i(-m+n)x)　－　ｅ^(i(-m-n)x)）
　＝　－ｉ／４｛（ｅ^(i(m+n)x)　－　ｅ^(-i(m+n)x)）　＋　（ｅ^(i(m-n)x)　－　ｅ^(-i(m-n)x)）｝
　＝　－ｉ／４｛２ｉsin（（ｍ＋ｎ）ｘ）　＋　２ｉsin（（ｍ－ｎ）ｘ）｝
　＝　１／２｛sin（（ｍ＋ｎ）ｘ）　＋　sin（（ｍ－ｎ）ｘ）｝

以上の式変形は、頭が良い人だとオイラーの公式ではなく、最初からすんなりとアイデアが浮かんで、加法定理だけでできるのかもしれません。

実際、逆をやってみると、
１／２｛sin（（ｍ＋ｎ）ｘ）　＋　sin（（ｍ－ｎ）ｘ）｝
　＝　１／２｛sinｍｘcosｎｘ　＋　sinｎｘcosｍｘ　＋　sinｍｘcos（－ｎｘ）　＋　sin（－nｘ）cosｍｘ｝
　＝　１／２｛sinｍｘcosｎｘ　＋　sinｎｘcosｍｘ　＋　sinｍｘcosｎｘ　－　sinnｘcosｍｘ｝
　＝　１／２｛２sinｍｘcosｎｘ｝
　＝　sinｍｘcosｎｘ
なのですからね。

不定積分は
∫sinｍｘcosｍｘｄｘ　＝　１／２∫｛sin（（ｍ＋ｎ）ｘ）　＋　sin（（ｍ－ｎ）ｘ）｝ｄｘ
　＝　１／２｛－１／（ｍ＋ｎ）・cos（（ｍ＋ｎ）ｘ）　－　１／（ｍ－ｎ）・cos（（ｍ－ｎ）ｘ）｝　＋　Ｃ
　＝　－cos（（ｍ＋ｎ）ｘ）／（２（ｍ＋ｎ））　－　cos（（ｍ－ｎ）ｘ）／（２（ｍ－ｎ））　＋　Ｃ

定積分は、
－cos（（ｍ＋ｎ）π）／（２（ｍ＋ｎ））　－　cos（（ｍ－ｎ）π）／（２（ｍ－ｎ））
　＋　cos（（ｍ＋ｎ）（－π））／（２（ｍ＋ｎ））　＋　cos（（ｍ－ｎ）（－π））／（２（ｍ－ｎ））
　＝　－cos（（ｍ＋ｎ）π）／（２（ｍ＋ｎ））　－　cos（（ｍ－ｎ）π）／（２（ｍ－ｎ））
　　　　＋　cos（（ｍ＋ｎ）π）／（２（ｍ＋ｎ））　＋　cos（（ｍ－ｎ）π）／（２（ｍ－ｎ））
　＝　０

No.1 回答者： AsanoNagi 回答日時： 2011/06/15 14:32

「奇関数」とか「偶関数」って聞いたことありますか？

それがヒント。