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こんにちは。
まず、関係ないのですが、前段として、等加速度直線運動の話をします。
等加速度直線運動は、
質量×加速度 = 質量×a
つまり
加速度 = a ( = 定数)
これだけです。
これを時刻tで1回積分すると
速度v = ∫adt = a∫1dt = at + C1
となります。
ここで、t=0 のときの v を vo と決めると、
vo = a×0 + C1 = C1
なので、結局
v = at + vo
となります。これは、公式として物理の教科書に載っています。
もう一度、時刻tで積分すると位置になります。
位置x = ∫vdt = ∫(at + Vo)dt = a∫tdt + vo∫1dt
= 1/2・at^2 + vot + C2
ここで、t=0 のときの x をゼロと決めると、C2=0 となるので、
x = 1/2・at^2 + vot
これも公式として教科書に載っているはずです。
台形の面積を求めるという怪しげな計算方法が載っていますが、実はそれは積分のことなのです。
微分記号で書くと、
a = d^2x/dt^2
v = dx/dt
です。
何を言いたかったかというと、位置を時刻で微分すれば速度、速度を時刻で微分すれば加速度になるということです。
では本題です。
単振り子など、単振動の方程式は、
a = d^2x/dt^2 = -kx (k>0)
です。
kはバネ定数(単位はN/m)です。
マイナス記号がついているのは、左に振れたときに右への力、右に振れたときに左への力が働くことを意味しています。
ここから先は大学で習う微分方程式の世界なのですが、左辺にxの2回微分があり、右辺にxがあることに注目すると、
2回微分したときに、もとの関数にマイナスがつくものを考えればよいことになります。
それは、sin や cos です。
cosθ = sin(θ+π/2) であることを考えると、関数は sin でも cos でもよいことがわかります。
周期がTになる sin は
x = Asin(2πt/T + C)
と表すことができますよね?(重要)
(A は片側振幅です)
これを t で1回微分すると、合成関数の微分により
v = dx/dt = 2π/T・Acos(2πt/T + C)
もう1回微分すると、cos の微分は -sin なので、
a = d^2x/dt^2 = -(2π/T)^2・Asin(2πt/T + C)
= -(2π/T)2・x
これで、単振動では、
|a| = (2π/T)2・|x|
となることがわかりました。
単振り子の場合は、
|a| = |gθ|
|x| = Lθ
なので、
|gθ| = |(2π/T)2・Lθ|
|L/g| = (T/2π)2
g>0、T>0 と決めれば
T = 2π√(L/g)
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