波長と弦の関係の実験で

以前、弦の綿密度と波長の関係を確かめる実験をしました。その時、綿密度の大きいモノから小さいモノの５種類のカタン糸を使って実験しました。
波長は勿論、綿密度の小さいモノほど大きくなりましたが、どうしても最後に実験をした糸だけ、波長が小さくなってしまったのです。数回しましたが、どうしても、大きくはなりませんでした。

具体的に言うと質量が1.44*10^-4で綿密度0.288*10^-4のモノが波長が224となり、
それより大きい質量が1.49*10^-4で綿密度0.298*10^-4のモノが波長が232となり大きいのです。

グラフを書いてみても、最後のその部分だけ折れ曲がってしまいます。

自分では実験の誤差か人の手による実験だったための誤差ではないのかと思うのですが、なんかしても大きくならないため、もしかしたら他になにか特徴があるのかと思い、質問をしました。
もし、何か気がつきましたらお答えしていただきたいです。よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： LCR707 回答日時： 2003/10/22 21:52

　カタン糸って何？・・・と思って調べたら、木綿糸のことでした。

ピアノ線ではないのですね。一つ前の質問の続きだと考えて回答します。

　f = 1/λ√(s/ρ) より、「綿密度ρが大きい場合は、波長λが小さくなる」というのは合っているのですが、どうやって測定したのでしょうか。張力 s を一定に保ち、振動数 f が同じになるように弦長λを変化させたのでしょうか。普通ならば、張力 s と弦長λを一定に保ち、綿密度の異なる糸の振動数 f を測定すると思います。f もλもρの増減に対する変化の方向は同じ逆方向なので、質問中の「波長」は「振動数」の間違いであると勝手に解釈して話を続けさせていただきます。

　綿密度ρが大きいにも関わらず f が大きくなる原因として、弦の伸びによる張力があります。
　例えば、長さ 163[mm] の弦の中央を 10[mm] 横に引っ張ったとき、弦の長さは 164.22[mm] になります。ここで糸を放したとき、60[Hz] で弦が振動したとすれば、弦は２倍の周波数 120[Hz] で、1.22[mm]、つまり 0.75[%] 程度長さが変化することになります。
　この長さの変化は、何が吸収しているでしょう。弦に 60[g] の重りを付けて張力を与えているとし、重りが上記の振幅と周波数で上下して弦の長さの変化を吸収していると仮定すると、重りは最大 8.7[G] の加速度で上下することになり、弦の振動で重りが飛び跳ねることになります。しかし現実には木綿糸の振動でそのようなことは起こらないでしょう。弦を振動させても重りは動かず、弦自体が伸び縮みして長さの変化を吸収していると考えるのが妥当です。

　弦が伸び縮みしているとすれば、弦が伸びたときそれに比例した張力が発生します。例えば、弦の伸び縮みによる張力の変化を 2[g] とすれば、弦が真っ直ぐなときの張力は 60[g] 、最大に振れたときは 62[g] かも知れません。あるいは、真っ直ぐなとき 59[g] で、最大に振れたとき 61[g] で、平均した張力が 60[g] かも知れません。しかしどちらにしても弦の運動加速度が大きく変化するのは最大に振れたときなので、このときの張力が平均張力 60[g] より大きいということは、振動数を増加させることになります。そして、弦の振幅が大きいほど、この傾向は大きくなります。
　
　ここで、弦に使用しているカタン糸の性質が問題になります。ある長さの糸に重りを付けたとき、たくさん伸びる糸を柔らかい糸、少ししか伸びない糸を硬い糸と表現することにします。そうすると、硬い糸ほど伸びたときの張力が大きいので、同じ振幅で振動させても、振動数が大きくなるはずです。つまり、質問中の、綿密度0.288*10^-4 の糸より、0.298*10^-4 の糸の方が硬ければ、密度が大きいにもかかわらず、振動数が大きくなる可能性はあります。


　弦と同じく振動するものに、振り子があります。振り子の振動は振幅が小さいとき、振れ角に比例した復元力が働くので振動周期が一定ですが、振れ角が大きくなると角度に比例した値より復元力が小さくなるので、振動周期が長く、つまり振動数は小さくなります。このあたりの厳密な周期については、楕円関数を使って計算できます。
　一方、弦の振動の場合は振動幅が大きくなると、弦の張力による復元力が本来の張力に加わって、振動周期が短く、つまり振動数は大きくなります。同じ振動するものでありながら、弦と振り子は逆の性質を持つわけであり、面白いと思います。

No.3 回答者： LCR707 回答日時： 2003/10/22 23:48

　#2です。

　前回の質問のとき、 f = 1/λ√(s/ρ) の式の確認をするためにwebを検索していたら、長い糸の端に音叉を取りつけて、強制振動させている絵がありました。
　波長よりも長い糸を、音叉により一定周波数で強制振動させ、他方の端から１つめの振動の節までの長さを測ったのであれば、ご質問の内容が納得できます。私は電気関係が専門なので、弦の振動をマイクロホンで拾い、オシロスコープで周波数を測るのだろうかと思っていました。しかし節までの距離を測るほうが、ずっと直接的で良いですね。
　
　音叉による振動方向が、弦と直角であれば、#2で述べた事は同様に成り立ちます。波長と振動数は適当に置き換えてお読み下さい。

No.1 回答者： terra5 回答日時： 2003/10/22 20:07

張力は一定ですよね？

波長の測定はどうやって行ったんでしょうか？

一応カタン糸という同じような材質みたいですが、
かなり性質が違ったりしませんか？

例えば、振動は硬い物と柔らかいものでは違いがでたような気がします。

また、綿密度の測定はどうやって行いましたか。
張力によって密度の測定時と、波長の測定時で変化していませんか。

あまり関係無いかも知れませんが、ピアノの弦は硬い物を強力な張力で葉って弦の端の方を叩くため、
通常あらわれる整数次の倍音が、かなりずれてくるという現象がありますので。
また、発音直後後と一定時間立った後では振動数が変化します(音程が変化します）。
一時的に弦が伸びるからとか。

あと、理論的に理想弦(?)を想定していて、それとの違いが大きいとかありませんか。

詳しくないので思いついたことをならべてみましたが。