No.2ベストアンサー
- 回答日時:
2次曲線は適当な平行移動と座標回転で標準形に書き直すことができますね。
そこで平行移動によりまずx,yの1次の項を消し,次に回転によりxyのクロス項を消すというやり方がこの問題に対する処方箋です。1.平行移動
x,yそれぞれの方向にP,Q平行移動した新しい座標をX,Yとすると
X=x-P,Y=y-Q (1)
となりますね。これをF(x,y)に代入してやると、地味な計算をこつこつした結果(笑い)
F(X,Y)=aX^2+2hXY+bY^2+2(aP+hQ+g)X+2(bQ+hP+f)Y
+(aP^2+2hPQ+bQ^2+2gP+2fP+c)=0 (2)
となります。そこで1次項を消す条件は
aP+hQ+g=0,bQ+hP+f=0 (3)
となります。ついでに(2)式の定数項を消しましょう。このための条件は
aP^2+2hPQ+bQ^2+2gP+2fP+c=0 (4)
ですね。これでF(x,y)はサッパリしました。即ち
F(X,Y)=aX^2+2hXY+bY^2 (5)
しかしXYのまだクロス項が気になります。この項は座標を適当に回転し、回転後の座標で書けくと消すことが可能です。ところで座標回転は通常直交行列で書かれたりしますね。そこで行列の知識が必要になってきます。
>直交行列についての知識が浅いのもあって手
行列の話はある程度しますが、話がくどくどとなるので、ある程度ご自分で頑張ってください。
2.2次曲線の標準化
復習を兼ねてステップを踏んでいきましょう。
(1)2次曲線の標準形の分類(参考)
一般的な2次曲線として
Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0 (6)
を考えます。これは次のように分類されます。
(a)楕円形:AB>0,(b)双曲型:AB<0,(C)放物型:AB=0
(2)2次曲線の行列表示
1の議論で(6)の2次曲線は適当な平行移動でx,yの1次の項を消せることが分かったので、(6)をさっぱりと
ax^2+2bxy+cy^2+d=0 (7)
と書くことにします。ここでb≠0とします。そうしないとすでに標準形になってしまうから。
さて、(7)は行列での次ように書けます。書き方に苦しいものがありますが(笑い)、本当にそうか、展開して確かめてください。
(x,y)|a b|(x
|b c| y)+d=0 (7)
(7)のまん中の行列は対称行列と呼ばれています。
ところでこの行列をよく睨むと
|a' 0|
|0 b'|
という形に書ければ例のXYのクロス項がなくなるという事が分かりますね。
(3)行列の固有値
Gをn次の正方行列とし、n次の列ベクトルをxとすると
Gx=nx (9)
の連立方程式が0でない解xをもつような数λの値をGの固有値と言い、その時のxを固有値λに対応するGの固有ベクトルと言います。
(7)の対称行列をGとして、Gの固有値をλとすると、λは
|a-λ b|=0 (8)
|b c-λ|
より次の固有方程式の解となります(←この辺りの説明はテキスとを参照してください)。
λ^2-(a+c)λ+(ac-b^2)=0 (9)
(9)の判別式を見ると
D=(a+c)^2-4(ac-b^2)=(a-c)^2+4b^2 (10)
b≠0を仮定しているので上の判別式はD>0となり行列Gは相異なる固有値λ1、λ2を持つことになります。それぞれの固有値に対して固有ベクトルx1、x2が存在します。そしてこれら固有ベクトルは直交関係にあります(内積=0)。
また、この場合、対称行列Gはある直交行列Rを使って
R^-1GR=|λ1 0|
|0 λ2| (11)
とかけます。
(4)座標の回転変換
2つの固有値のそれぞれの固有ベクトルをR1,R2として
R1=|cosθ|、 R2=|-sinθ|
|sinθ| | cosθ| (12)
と書き、ベクトルR=(R1,R2)を
R=|cosθ -sinθ|
|sinθ cosθ| (13)
として、座標の回転を考えます。即ち回転は次のように書くことができます。
|x|=R|X|
|y| |Y| (14)
Rは直交行列ですから、(14)の転置行列をとると
(xy)=(XY)R^-1 (15)
とすることができます。
(5)第4コーナー
(15)を(7)に代入すると
(XY)R^-1GR|X|
|Y|+d=0 (16)
となります。
(6)ゴール
(16)の左辺の真中はR^-1GRという姿をしているので、(11)が使えますね。それを使って(16)を書き直すと
(XY)|λ1 0|(X
|0 λ2| Y)+d=0 (17)
となり、これは平べったく書くと
λ1X^2+λ2Y^2+d=0 (18)
となります。これは紛れもなく2次曲線の標準形を表していますね。尚、最初の1で議論したヤツはd=0としたものですね。まぁ、ごたごたと書きましたが、じっくり読んで(ナヌ読みにくい、、、ご尤も)フォローしてみてください。
No.1
- 回答日時:
曲面でなくて曲線です。
http://homepage2.nifty.com/PAF00305/math/curve/n …
は簡潔です。簡潔過ぎで分かりにくいかも。
参考URL:http://homepage2.nifty.com/PAF00305/math/curve/n …
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