No.1ベストアンサー
- 回答日時:
[1]合成関数の微分の証明
y={f(x)}^n=g(u)、u=f(x)
Δy=g(u+Δu)-g(u)、Δu=Δf(x+Δx)-f(x)とおくと
Δx→0のときΔu→0なのでΔu≠0(*)のとき
dy/dx=lim[Δx→0]Δy/Δx=lim[Δx→0](Δy/Δu)・(Δu/Δx)
=lim[Δu→0](Δy/Δu)・lim[Δx→0](Δu/Δx)
=(dy/du)・(du/dx)
={df(x)^n/df(x)}・{df(x)/dx}
={f(x)^n}´・f´(x)
(*)Δx=0のときは知らんぷりでいいいと思うが。
[2]{f(x)^n}´=n・{f(x)}^(n-1)の証明
また微分の定義式から
f(x)=uとおいてn∈Nのとき
{f(x)^n}´=lim[h→0]{(u+h)^n-u^n}/h
ここで
(u+h)^n-u^n=(nC0・u^n・h^0+nC1・u^(n-1)・h^1+・・・+nCn・u^0・h^n)-u^n
=nC1・u^(n-1)・h^1+・・・+nCn・u^0・h^n
ゆえに
{(u+h)^n-u^n}/h=n・u^(n-1)+・・・+nCn・u^0・h^(n-1)
→n・u^(n-1) (h→0)
したがって{f(x)^n}´=n・{f(x)}^(n-1)
n∈Nのときのみやりましたがn∈Z、n∈Qのときも教科書に載ってるから。
No.4
- 回答日時:
単純に微分の定義に戻ってやったらどうですか。
強引すぎますかね?
間違ってはいないと思いますが。
f(x+h)^n-f(x)^n=[f(x+h)-f(x)]*[f(x+h)^(n-1)+f(x+h)^(n-2)*f(x)+f(x+h)^(n-3)*f(x)^2+・・・・・・+f(x+h)*f(x)^(n-2)+f(x)^(n-1)]
[f(x+h)^n-f(x)^n]/h={[f(x+h)-f(x)]/h}*[f(x+h)^(n-1)+f(x+h)^(n-2)*f(x)+f(x+h)^(n-3)*f(x)^2+・・・・・・+f(x+h)*f(x)^(n-2)+f(x)^(n-1)]
ここでh→0の極限をとれば
[f(x+h)-f(x)]/h→f’(x)
f(x+h)^(n-k)*f(x)^(k-1)→f(x)^(n-1)でこいつが全部でn個ある
したがって
[f(x)^n]’
=(lim(f(x+h)-f(x))/h)*lim(f(x+h)^(n-1)+f(x+h)^(n-2)*f(x)+f(x+h)^(n-3)*f(x)^2+・・・・・・+f(x+h)*f(x)^(n-2)+f(x)^(n-1))
=f’(x)*[nf(x)^(n-1)]
=n[f(x)]^(n-1)*f’(x)
No.3
- 回答日時:
#1、#2の積の微分と帰納法を用いる方法以外では、
定義に従って微分するとき、二項定理を用いて展開する方法があります。
例えばn=3のときで考えると
(limは省略します。)
f’(x)=((x+h)^3-x^3)/h
=((x^3+3x^2・h+3x・h^2+h^3)-x^3)/h
=(3x^2・h+3x・h^2+h^3)/h
・・・(1)
=(3x^2+3x・h+h^2)
・・・(2)
=3x^2
となりますが、
n=4以上でも
展開するとx^nの項が消え・・・(1)
hが1回ずつ約分でき・・・(2)
必要なところ以外はh→0で消えることになるわけです。
パソコン上だと指数がみにくいですが、
n=4あたりでやってみると分かると思います。
疑問があれば聞いてください。
No.2
- 回答日時:
帰納法はどうですか?
(f(x)^n)’=n*(f(x)^(n-1))*f'(x) ---(1)
n=1のとき、
(f(x)^1)'=f'(x)=1*(f(x)^(1-1))*f'(x)---(2)
従って、式(1)で成立する。
n=kのとき、式(1)が成立すると仮定する。
すなわち、次式(3)が成立すると仮定する。
(f(x)^k)’=k*(f(x)^(k-1))*f'(x)---(3)
すると、n=k+1のとき,
(f(x)^(k+1))'
=((f(x)^k)*f(x))'
=(f(x)^k)'*f(x)+(f(x)^k)*f(x)' ---積の微分公式より
=k*(f(x)^(k-1))*f'(x)*f(x)+(f(x)^k)*f(x)'---仮定(3)より
=(k+1)*(f(x)^((k+1)-1))*f(x)'---(4)
となって、式(1)が成立する。
以上から、すべての n>=1 について、下記が成立する。
(f(x)^n)’=n*(f(x)^(n-1))*f'(x) .
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