両辺の絶対値を外すとき

初歩的な質問でもうしわけごさいません…。
| f(x) | = | g(x) |　がどうしてf(x)=±g(x) と同値変形できるのかがわかりません…
普通絶対値外すときってxの値で場合わけしますよね?
どうして同値変形が可能なのですか??

No.5 回答者： osn3673 回答日時： 2011/08/23 19:39

「xの値」でなく「f(x)の値」，「g(x)の値」ですが，多分ご質問の意図は

例えば， f(x) = x^2, g(x) = 1 のとき，f(x) = -g(x) にならない
ということに起因しているのではないでしょうか．このとき，

「x^2 = 1」かつ「x^2 = -1」： 解なし
「x^2 = 1」または「x^2 = -1」： 解あり

ですが，「f(x)=±g(x)」を後者と解釈して

「| f(x) | = | g(x) |」である x の集合と「f(x)=±g(x)」である x の集合は等しい

ことを同値と考えれば問題ないと思います．

No.4 回答者： naniwacchi 回答日時： 2011/08/22 21:56

#2です。

両辺を 2乗することに、同値変形の確認はなかったのですね。
そこを指摘されるかと思っていたのですが・・・。

場合分けした結果をまとめたものが±となって現れている
と解釈するのが一番素直だと思います。
#1さんは、それを丁寧に説明されていますよね。

この回答への補足

すみません。
そうですね…
２乗したら同値変形ではないですね…
また解らなくなってしまいました…。

補足日時：2011/08/24 09:30

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2011/08/22 21:34

＞ 場合わけが必要である以上「 |f(x)| = |g(x)| と f(x)=±g(x) が

＞ 同値である 」とは言えない気がするのですが…

あまりにも意味不明。同値であることが解るように、わざわざ場合分けして
解説しているのだと思いますが。貴方は、なぜ、場合分けすると同値でない
と考えるのでしょう？　少し、自分の言葉で説明してみるとよいでしょう。
そこを整理しておかないと、二乗のギミックで今だけ理解したつもりでも、
何か肝心なところで重大な勘違いをしている可能性がありそうです。

No.2 回答者： naniwacchi 回答日時： 2011/08/22 20:07

こんばんわ。

絶対値の記号って、2乗すると外せたりしますよね。
なので、一度 2乗して、因数分解もどきなことを考えてみてください。

この回答へのお礼

確かに!! できました!! ありがとうございます(;_;)

お礼日時：2011/08/22 20:30

No.1 回答者： windwald 回答日時： 2011/08/22 20:04

>普通絶対値外すときってxの値で場合わけしますよね?

ここが違います。

絶対値記号の中身について場合分けをします。
今回は|f(x)|と|g(x)|と２つの絶対値記号がありますので、それぞれ分けます。
前者について
f(x)≧0のとき|f(x)|＝f(x)　……(1)であるか、
f(x)＜0のとき|f(x)|＝-f(x) ……(2)のどちらか。
そして後者について
g(x)≧0のとき|g(x)|＝g(x)　……(3)であるか、
g(x)＜0のとき|g(x)|＝-g(x) ……(4)のどちらか。

ここで可能性としては(1)かつ(3)、(1)かつ(4)、(2)かつ(3)、(2)かつ(4)の4パターンがあり得ます。
(1)かつ(3)のとき、f(x)＝g(x)
(1)かつ(4)のとき、f(x)＝-g(x)
(2)かつ(3)のとき、-f(x)＝g(x) ⇔ f(x)＝-g(x)
(2)かつ(4)のとき、-f(x)＝-g(x) ⇔ f(x)＝g(x)
以上を全てまとめるとf(x)=g(x)または-g(x)
となり、|f(x)|=|g(x)|とf(x)＝±g(x)が同値であると言えます。

この回答への補足

結果がf(x)=±g(x)しかないというのはわかります。
しかしこれでは「(1)かつ(2)、または(2)かつ(4)のときにf(x)=g(x)である。 」というようなf(x)やg(x)に対する場合わけが必要ではありませんか??
場合わけが必要である以上「| f(x) | = | g(x) |　とf(x)=±g(x) が同値である」とは言えない気がするのですが…

補足日時：2011/08/22 20:29