３連続の整数が、２と３の倍数になることの証明

Question

高校数学の数列の問題です。

数列｛an}の初項a1 から、第ｎ項での和を、Sｎと表す。
この数列が、（ｎ＋２）aｎ＝３Sｎ（ｎ＝１，２，３，・・・）

をみたす。数列｛an}の初項a1が整数であるとき、Snは整数であることを示せ。

(n+2)a[n]-(n+1)a[n-1]＝3（ S[ｎ]－ S[ n-1]）
これから、一般項を求めて、

a{n｝＝（ｎ＋1）／（ｎ-1） a {ｎ-1｝

aｎ＝｛（ｎ＋1）／（ n -1）｝×｛ｎ／ｎ－2｝×｛ n -1｝×｛ n -1／ n -3｝×
｛ n -2／ n-4｝×… ｛5／3｝×｛4／2｝×｛3／1｝a1

約分して、
これから一般項求める

aｎ＝｛ｎ（ｎ＋1）／2｝× a{ 1}
 
（ここからは、ある人からの回答です）

a[ｎ]＝｛ｎ（ｎ＋1）／2｝× a[1]
を求めた時点で、

n(n+1)/2
は１からｎまでの和ですから
a[1]が整数なので、
a[n]は整数であることが分かります。

a[1]からa[n]までの和である
S[n]も当然整数となります。

もし計算で出すのでしたら
n(n+1)(n+2)/6×a[1]
となります。

これが整数であることは
n(n+1)(n+2)
は連続する３つの整数なので、
 ２の倍数と３の倍数を含むことから６の倍数となります。

つまり分母の６が約分されるので整数となります。

とあるのですが、
 
この「 n(n+1)(n+2)
は連続する３つの整数なので、
 ２の倍数と３の倍数を含むことから６の倍数となります。」
 
この部分は、証明なしで使っていいのでしょうか？
 いわれると何となくわかるのですが・・・
 
また、これを示すには、どうすれば示せますか？
 
お願いします。

mister_moonlight · Accepted Answer

手間がかかるが、次のようにし証明しても良い。

Ｎ＝n(n+1)(n+2)として、ｍを整数とする。
(1)　n＝6ｍの時、Ｎ＝n(n+1)(n+2)＝(6m)*(6m+1)*(6m+2) つまり、6の倍数。
(2)　n＝6ｍ＋1の時、Ｎ＝n(n+1)(n+2)＝6*(2m+1)*(3m+1)*(6m+1)つまり、6の倍数。
(3)　n＝6ｍ＋2の時、Ｎ＝n(n+1)(n+2)＝6*(3m+1)＾2*(2m+1)*(6m+4) つまり、6の倍数。

以下、n＝6ｍ＋3、n＝6ｍ＋4、n＝6ｍ＋5　も同じように証明できる。続きは、自分でやって。

AsanoNagi · Answer

No.4 です。
間違いがありました。

> 故に、 a - b = (da - db)n
> 仮定から、da - db ≠ 0 であるから、da - db > 1
> 故に a - b > n

ここの不等号 > は、いずれも、≧ の間違いです。
ついでに、連続する n 個の自然数から二つとった場合、その差は、最大でも n - 1 であることを前提にしています。

AsanoNagi · Answer

一般的に示そうとすると、「連続する n 個の自然数は必ず n の倍数を含む」を示せばいいです。
さらにいえば、「連続する n 個の自然数を n で割った余りはすべて異なる」ということになります。

【連続する n 個の自然数を n で割った余りはすべて異なる】

連続する n 個の自然数から、異なる、a b 選ぶ（a > b となるように定める）
これを、 n で割った余りが等しいとすると

a b を n で 割った商を、それぞれ、da, db 余りを、r （等しい） とする。
このとき、

a = da*n + r
b = db*n + r

故に、 a - b = (da - db)n
仮定から、da - db ≠ 0 であるから、da - db > 1
故に a - b > n

これは、a, b を連続する n 個から選ぶという仮定に反する。
従って、連続する n 個の数値を n で割った余りは、互いに異なる。

【連続する n 個の自然数は必ず n の倍数を含む】

ある数を n で割った余りは、0 から n - 1 までの n個 しか存在しない。
一方で、連続した n 個の自然数を n で割った余りは、すべて異なるから、この中には、
n で割った余りが 0 （＝ n の倍数）が存在する。

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もしくは
3の倍数であることは、
n=1のときなりたつことと
n(n+1)(n+2)が3でわりきれるとき(n+1)(n+2)(n+3)も3でわりきれることから。
（差が3(n+1)(n+2)になる）

2の倍数に関しては
n(n+1)で成り立つことを同じようにやればよい。

mister_moonlight · Answer

＞この部分は、証明なしで使っていいのでしょうか？

この程度は　良いんじゃないか。4連続する整数の積が、24の倍数である、という事を使うわけでもないし、その程度は常識と考えても良い。

＞また、これを示すには、どうすれば示せますか？

連続する2つの整数の積は、2つの整数のうちのどちらかが偶数だから　2の倍数。
連続する3つの整数の積は、その3つの整数の中に必ず3の倍数を含むから　3の倍数。
2と3は互いに素から、連続する3つの整数の積は　“2×3”、つまり6の倍数。

３連続の整数が、２と３の倍数になることの証明

手間がかかるが、次のようにし証明しても良い。

No.4 です。

一般的に示そうとすると、「連続する n 個の自然数は必ず n の倍数を含む」を示せばいいです。

もしくは

＞この部分は、証明なしで使っていいのでしょうか？

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