No.2ベストアンサー
- 回答日時:
#1さんのヒントで分からないですか?
そうなら教科書でtanの加法定理の公式(加法定理2)を復習して下さい。
(URL:「http://homepage3.nifty.com/sugaku/kousikisankaku …」の加法定理2)
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) …(1)
A+B=5π/12=(2π+3π)/12=(π/6)+(π/4)
なので A=π/6, B=π/4 を(1)に代入すれば計算出来るでしょう。
tanA=tan(π/6)=1/√3, tanB=1/√2 より
tan(5π/12)=((1/√3)+(1/√2))/(1-(1/√3)(1/√2))
分子・分母に(√3)(√2)=√6を掛けて
=(√2+√3)/(√6 -1)
分母の有理化をして
=(√2+√3)(√6 +1)/{(√6 -1)(√6 +1)}
=(3√3+4√2)/(5-1)
後は式を簡単にすれば良いでしょう。
別解) 加法定理2(tanの加法定理)を使わない方法
(π/4)<(5π/12)<(π/2)より
1<tan(5π/12) …(★)
tan^2(5π/12)=sin^2(5π/12)/cos^2(5π/12)
半角の公式を適用して
={1-cos(5π/6)}/{1+cos(5π/6)}
={1+cos(π/6)}/{1-cos(π/6)}
={1+(√3/2)}/{1-(√3/2)}
=(2+√3)/(2-√3)
=(4+2√3)/(4-2√3)
={(√3+1)^2}/{(√3-1)^2}
tan^2(5π/12)={(√3+1)/(√3-1)}^2
両辺の平方根をとると(★)より
tan(5π/12)=(√3+1)/(√3-1)
分母の有理化をすると
=(√3+1)(√3+1)/{(√3+1)(√3-1)}
={(√3+1)^2}/(3-1)
=(4+2√3)/2
∴tan(5π/12)=2+√3
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