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No.1
- 回答日時:
λは未定乗数でしょう。
カルッシュ・クーン・タッカーの方法を用いたのだと思います。機械的にやればL= f(x1,x2) + λ1(5-(x1+x2)) + λ2(7-(2x1+x2)) + λ3(-x1) + λ4(-x2)
として
∂L/∂x1 = 0, ∂L/∂x2 = 0
λ1(5-(x1+x2)) = 0
λ2(7-(2x1+x2)) = 0
λ3x1 = 0
λ4x2 = 0
x1+x2≧5, 2x1+x2≧7, x1≧0, x2≧0
λ1≧0, λ2≧0, λ3≧0, λ4≧0
を全て満たすようにする訳です。が、手抜きでしょうか、x1≧0, x2≧0に関する未定乗数λ3, λ4はナシにしたのですね。
さて、この問題は他にも解き方があります。というのは、目的関数は(1,0)と(x1,x2)の距離の2乗になっているから、これは「(x1,x2)平面上で、4つの不等式を全て満たす点のうち(1,0)に最も近い点は?」という問題だと解釈できます。
そこで、(1)式の不等号を等号に置き換えたもの (x1+x2=5) を表す直線Lと、2つ目の不等式で決まる (2x1+x2=7) の直線Mをグラフに描いてみて下さい。するとこの場合、解(すなわち(1,0)に最も近い点)が直線L上にあることは一目瞭然かと思います。
ところで、λ1(5-(x1+x2))=0 であってしかも λ1≠0 だ、ということは解が (5-(x1+x2))=0 を満たすということですから、つまりλ1≠0は解が直線L上にあることを示しています。
また、λ2=0だということは、(7-2x1+x2) は必ずしも0ではない。これは解が直線M上にない(か、あってもMとLの交点上である)ってことです。
という訳で、λ1,λ2は「それぞれに対応する制約条件の境界線(L, M)の上に解があるかどうか」を示しているんですね。
ここで(1)式の右辺をδだけ変化させると、直線Lが動きます。もしδが微小であれば、解はやはりL上にあって、その位置がLの動きにつれてちょっとだけ動くわけですが、δが大きくなってくると、λ1=0, λ2≠0ということが生じる。すなわち解がL上ではなく、M上にある、という状態になった訳です。Lをもっと動かすと(あるいは直線Mも動かすと)解がL上にもM上にもない(λ1=0, λ2=0)という状態になって直線x1=0やx2=0の上に行く(λ3やλ4が0でなくなる)かも知れません。検討してみて下さい。
さらに直線x1=0やx2=0も動かしてみれば、解がどの直線上にもない(λ1~λ4がすべて0)ということも生じます。線形計画法では解は必ず制約条件の境界線上にある訳ですが、非線形計画法の場合にはそうとは限らないわけです。
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