次の3X3行列Aのジョルダン標準形を求めたいのですが、固有空間を求める段階でわからなくなっています。
(-1 1 0)
A=( 0 -1 4)
( 1 0 -4)
固有値は0、-3となり、次元は両方1次元。
固有値0の固有空間は、aを任意定数として
a( 1 1 1/4) (←の行列は転置です)
固有値ー3の固有空間は、bを任意定数として
b( 1 -2 1) (←の行列も転置です)
ここから先がよくわからない部分なのですが・・・
(ここまででも間違っているかもしれませんので、違って いたら教えてください)
固有ベクトルの具体例を3つ用意するために、固有値ー3に対して、
p{A-(-3)E}=q ...(★)
(Eは単位行列、qはー3の固有ベクトル具体例)
を満たすpを求めると、そのpが3つ目の固有ベクトルになる・・・
でいいのでしょうか?
実際、a=1、b=1として(★)を計算して、具体的な固有ベクトルとして、
(0 -1 1)を出しました。 (←の行列は転置)
そして、これらのベクトルを列ベクトルにもつ行列Bを考えたとき、
(Bの逆行列)*A*B
を計算してもジョルダン標準形になりませんでした。。
ジョルダン標準形はおそらく
(-3 1 0)
( 0 -3 0)
( 0 0 0)
ではないかと思うのですが、解法がよくわかりません。
誰かご存知の方に教えていただきたいのです。
お願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
固有多項式はλ・(λ+3)^2であり
λ=-3の固有ベクトルがu=[1,-2,1]^Tであり固有空間は1次元なので標準形Λは
[-3,1,0]
[0,-3,0]
[0,0,0]
である。
λ=0の固有ベクトルはw=[4,4,1]^Tである。
λ=-3の拡張固有ベクトルvは
(A-λ・E)・v=u
まとめて
A・u=-3・u
A・v=u+-3・v
A・w=0
よって
A・[u,v,w]=[u,v,w]・Λ
ありがとうございます!
ジョルダン標準形はそうやって求めればいいんですね。
こんなにすっきりと求められるのですね♪
なんとかジョルダン標準形をつくれるようになりました。
助かりました!本当にありがとうございますm(_ _)m
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