ε-δ論法の証明問題

こちらは理工学部物理学科で大学新一年生の者です。
ε-δ論法の問題で解答が分からないものがあり、その本に解答が載っていないのでここで質問させていただきます。

問)　lim(n→∞)(a_(n+1)-a_n)=αのとき、lim(n→∞){(a_n)/n}=αになることを証明せよ。

よろしくお願いします。

No.3 回答者： hugen 回答日時： 2012/04/08 14:54

a5=(a5-a4)+(a4-a3)+(a3-a2)+(a2-a1)+a1

No.2 回答者： hugen 回答日時： 2012/04/08 13:18

lim(n→∞)(b_n)=αのとき、lim(n→∞){∑b_n)/n}=αになることを証明せよ。

この回答への補足

証明)
c_n=(b_n)-αとすると、lim(n→∞){(b_n)-α}=lim(n→∞)(b_n)-lim(n→∞)(α)=0より∀ε>0　∃n=N，|{c_n|<ε (n>N)とできる。　
よってn>Nにおいて、|Σ(from k=1 to k=n)(c_k)/n|≦|(c_1+c_2+…+c_N)/n|+|(c_(N+1)+c_(N+1)+…+c_n)/n|　<|(c_1+c_2+…+c_N)/n| + ε(n-N)/n <|(c_1+c_2+…+c_N)/n| +ε

ここで|(c_1+c_2+…+c_N)/n| において、分子はnに依らない定数であるからこれは任意の正数をとることができ、|(c_1+c_2+…+c_N)/n| +εも任意の正数を取ることが出来る。

　　　　∴∀ε>0　∃n=N' , |Σ(from k=1 to k=n)(c_k)/n|<ε　(n>N')
よってn>N'において、-ε<Σ(from k=1 to k=n)(c_k)/n<ε　⇔-ε<Σ(from k=1 to k=n)(b_k)/n　-α<ε　⇔|Σ(from k=1 to k=n)(b_k)/n|<ε　(n>N')

　以上より、lim(n→∞){Σ(from k=1 to k=n)(ｂ_k)/n}=α　

補足日時：2012/04/08 13:55

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2012/04/08 12:22

基本通りの計算練習。

lim(n→∞)(a_(n+1)-a_n)=α だから、
∀ε>0, ∃N, n>N⇒|a_(n+1)-a_n-α|<ε.

この N を使って、n>N のとき、
|a(n)-a(N)-α(n-N)|=|Σ[k=1～n-N]{a(N+k)-a(N+k-1)-α}|
≦Σ[k=1～n-N]|a(N+k)-a(N+k-1)-α)|
<ε(n-N).
よって、|{a(n)-a(N)}/(n-N)-α|<ε.
すなわち、lim(n→∞){a(n)-a(N)}/(n-N)=α.

lim(n→∞)a(n)/n = lim(n→∞){a(n)-a(N)}/(n-N)・(n-N)/n + a(N)/n
= lim(n→∞){a(n)-a(N)}/(n-N)・lim(n→∞)(n-N)/n + a(N)・lim(n→∞)1/n
= α・1 + a(N)・0
となる。

Δa(n)≒α から a(n)≒αn という本音が見えれば、
上記のような建前に行き着くはず。

この回答へのお礼

素早い解答感謝ですm(_ _)m

証明の方法もわかりやすく理解出来ました!　最後にこのような式変形に至るまでの根拠も書いていただいて非常にありがたかったです。

お礼日時：2012/04/08 14:03