すいませんが、これもできれば教えて下さい！

幾何学は勉強しているんですが、問題を解こうとしたときに答えることができません。
発散についてなんですが、Ｐｊ：Ｒ^ｗ→Ｒ
　　　　　　　Ｐｊ(ｘ^1、ｘ^2、・・・)＝ｘ^ｊ
これが発散しないってどういうことなんですかね？わかる人いますか？英語で書かれていたんで、訳が曖昧になってるかもしれませんが、もしわかる人がいらっしゃれば教えて下さい！！

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2004/01/27 23:01

写像 f:A->B がnon-expansive（非拡大写像）であるとは、AとBの上で適当に定義されている距離dについて、∀x∀y((x∈A ∧ y∈A)⇒d(f(x),f(y))≦d(x,y))

ということです。
　たとえばfがR->Rの微分可能な関数の場合で、距離がd(x,x')=|x-x'|と定義されているとするなら、non-expansiveであるとは、 |df/dx|が常に1以下である、という条件と同じですね。
　もちろん、距離dがNo.3のご回答のように定義されているとする根拠はなく、以下これは仮定しないでおきましょう。

　さて、ご質問のPjはw個の実数から1個の実数への写像ですが、写像の全体の構造は分からなくてただ、
∀x(x∈R ⇒ Pj(x^1,x^2,....,x^w)=x^j)
という性質だけが分かっている。
Pj(X)（ここで大文字でXと書いたのはR^w空間の点であり、これはw次元ベクトルです）は、XがたまたまX=＜x^1,x^2,....,x^w＞を満たしている時以外にはどんな写像になっているかは分からないんですから、たったこれだけの条件でPjがnon-expansiveであることが言えたら、そりゃ面白いですね。

…つーか、そんなバカな！！成り立ちっこないですよ！

　成り立ちっこないと証明するには、反例を構成すれば良いわけです。すなわち
∀x(x∈R ⇒ Pj(x^1,x^2,....,x^w)=x^j)
であって、しかも
∃X∃Y(X∈R^w ∧ Y∈R^w ∧ d(Pj(X),Pj(Y))＞ d(X,Y))
となるPjを作ってみせれば良い。

　w=2で調べてみましょう。
∀x(x∈R ⇒ Pj(x^1,x^2,....,x^w)=x^j)
というのはつまり、「P1(x,y)は、もしy=x^2ならP1(x,y)=xである。」
というのだから、x,y平面を用意して、そこにy=x^2のグラフを描く。で、このグラフの曲線上ではP1(x,y)はxという値を取るという訳です。条件はそれだけなんですから、それ以外の点でどんな値を取っても構わない。
だから、
P1(x,y)は、y=-1のとき、P1(x,y)= 1/x である。
という写像であっても構わないわけです。そこで
X=<t,-1>, Y=<-t,-1>
とおいて
d(<t,-1>,<-t,-1>)=d(P1(t,-1),P1(-t,-1))
だとしましょう。すると、
d(<t,-1>,<-t,-1>)=d(1/t,-1/t)
となっています。ここでｄは（どう定義しようと距離である限りは）
d(<t/2,-1>,<-t/2,-1>)＜d(<t,-1>,<-t,-1>)
は自明ですし、
d(2/t,-2/t)＞d(1/t,-1/t)
も自明ですから、
d(2/t,-2/t)＞d(<t/2,-1>,<-t/2,-1>)
すなわち
d(P1(t/2,-1),P1(-t/2,-1))＞d(<t/2,-1>,<-t/2,-1>)
となって、これが
∃X∃Y(X∈R^w ∧ Y∈R^w ∧ d(Pj(X),Pj(Y))＞ d(X,Y))
の例になっています。反例が構成できました。

ちう訳で、ご質問の命題は偽であることが証明できました。終わり。


　って、いやその終わりじゃ酷いんで、再びNo.1の補足にある命題をじっくり見てみますと、これって
Pj(x1,x2,…)=xj
の誤記、つまり「Pjはw次元ベクトルの第j番目の成分xjを取り出す写像である」と解釈すれば納得できます。

二つのw次元ベクトルX,Yを考え、さらに、「j番目の成分はXと同じで、他の成分はYと同じであるベクトルZ」を考えますと、
d(X,Y)≧d(Z,Y)=d(xj,yj)=d(Pj(X),Pj(Y))
という訳です。

　そーゆーわけで、問題の式を再確認なさってはいかがでしょう。テンソル解析などでは、成分を表す添え字を下付きではなく、上付きに書く場合もありますしね。
　

No.3 回答者： grothendieck 回答日時： 2004/01/06 12:29

Ｒ^ｗにおいては距離は

　∥x - y∥ = √((x1-y1)^2 + …+ (xw-yw)^2)
で定義されています。一方、Rにおいては距離は
　∥xj - yj∥ = |xj - yj|
で定義されています。従って
　∥Pj(x)-Pj(y)∥≦∥x-y∥
は明らかです。しかしそうだとすると問題が簡単すぎるので、テキストの確認をお願いします。

No.2 回答者： grothendieck 回答日時： 2004/01/04 18:43

写像 T:X→Xが

(0<∃k<1, ∀x,y∈X) ∥T(x)-T(y)∥≦k∥x-y∥
を満足するとき、T は縮小写像であるという。
(0<∃k≦1, ∀x,y∈X) ∥T(x)-T(y)∥≦k∥x-y∥
を満たすとき、T:X→Xは非拡大写像であるという。
ということですから、Pjがnon-expansiveとは距離が増大しないということではないでしょうか。なお、蛇足ですが、ｘ^2、ｘ^ｊなどは「xの２乗、xのj乗」の意味ではないのでｘ^ｊとは書かない方が良いのではないでしょうか。

この回答への補足

ということは、この答えは距離が増大しないということですか？
証明方法はわかりますか？何回もすいません。

補足日時：2004/01/04 20:57

No.1 回答者： grothendieck 回答日時： 2004/01/03 22:20

問題の意味が分かりません。

英語のままで結構ですから問題全文を書いてもらえませんか。

この回答への補足

すいません!
Show that for j=0,1,・・・ the maps Pj:R^w→R defined by the formula Pj(x^1,x^2,…)=x^j are
non-expansive.　以上ですが、わかりますか？

補足日時：2004/01/04 15:04