「8の倍数に+3して15の倍数に」等の法則について

8の倍数に3を足して、15の倍数にするとします。
式は
8x +3 = 15y　　（x，yは整数）
となると思います。

この式の場合、実際に計算していくと、以下のような法則が得られます。
（nは 0 または、自然数）
x = 15n + 9
そのxから、ｙは
y = 8n +5　
と表すことが出来ると思います。


同様に、数字を変えて、「7の倍数に5を足して、11の倍数にする」を考えると、
7x + 5 = 11y
x = 11n +4
y= 7n +3
となります。

今度は7x + 4 = 11yとしてみます。
すると、xとyはこうなります。
x = 11n +1
y= 7n +1

このようなことを、
『　ax + b = cyとした時、　x = ○n + ○○　，y = △n + △△ 』
というように、文字を用いて表現することは可能ですか？
他にも、いろいろ値を変えて変化を確かめてみたりしたのですが、
11n +4などの値が、7x + 5 = 11yのどこから来ているのか全くわかりません。
10の倍数に1を足して100の倍数に、など、不可能な組み合わせもあるようで、訳がわかりません。

どうかよろしくお願いします。m(_ _)m

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2012/05/07 22:36

総当たりでもいいですよ。

ax+b=cy が解を持つ必要十分条件は、
b が、a と c の最大公約数の倍数であること。
b が最大公約数自身でなくても、構いません。
その時、△ は、a と c の最小公倍数になります。
だから、△△ の値は、1～△ の自然数を
総当たりで代入してみれば判ります。
所詮、有限回の代入操作ですからね。
解の候補が有限個に絞れたら、その時点で
問題は解けたも同然です。
△ が大きな数だったらどうするかって？
そういう時のために計算機があります。

No.3 回答者： kabaokaba 回答日時： 2012/05/06 14:40

＞式を満たすその整数x,yはどのようにして求めればよいのでしょうか？

ということは，実際はユークリッドの互除法を知らない，
もしくは計算したことがない，もしくは理解していない
のどれかでしょう．

ユークリッドの互除法の「計算方法」だけ知ってるというだけなのかもしれません．
掛け算の九九を暗記してても掛け算を理解したとはいえないのと同じです．

7と11でやりますか
11 = 1 x 7 + 4
7 = 1 x 4 + 3
4 = 1 x 3 + 1

ということは

1 = 4 - 1 x 3
= 4 - 1 x (7 - 1 x 4)
= (11 - 1 x 7) - 1 x (7 - 1 x (11 - 1 x 7))
= (11 - 1 x 7) - 1 x 7 + 1 x (11 - 1 x 7)
= (11 - 1 x 7) - 2 x 7 + 1 x 11
= 2 x 11 - 3 x 7

これが互除法の計算と「ax+by=c (cはa,bの最大公約数）となるx,y」の関係
一般論もこれと大差のないことを行うだけで
むしろ文字が増えてわかりにくいのです．

こういう再帰的な計算を行うので
文字式による公式的な表記ははっきりいって煩雑で意味がありません．

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/05/06 03:46

ユークリッドの互除法.

この回答への補足

回答ありがとうございます。
一応、ユークリッドの互除法を使った最大公約数の求めかたは知っていますが、それだけでは不十分ですか？
また、これを用いると何がわかるのでしょうか？

補足日時：2012/05/06 05:13

No.1 回答者： kabaokaba 回答日時： 2012/05/05 23:44

ユークリッドの互除法を調べましょう

ユークリッドの互除法から
aとbの最大公約数がcであるとき
ax+by=c
を満たす整数x,yが存在する
となります．
これが質問の問題の根拠ですが
具体的にx,yをa,bで表すのは諦めましょう

この回答への補足

回答ありがとうございます。
式を満たすその整数x,yはどのようにして求めればよいのでしょうか？
総当りですか？

補足日時：2012/05/06 01:37