複素数で表される、{-1 / 2 + (√3 / 2) * i }^n をド・モアブルの定理を用いて計算し、直交形式 z = x + iy で表せ。
ただし、i = √-1 で、 nは整数、x , y は実数とする。
という問題で、
極形式表示の cos(2π/3) + i sin(2π/3) に変換するところまでは分かったのですが、
n乗への変換方法と直交形式に変換する方法が分かりません。
きちんと理解して解けるようにしたいので、計算方法と解答を具体的に教えてもらえないでしょうか。
分かりやすいように、問題の式を画像でアップしておきます。
どうぞ、よろしくお願いします。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
ド・モアブルの定理は、下記です。
(cosθ+i・sinθ)^n=cos(nθ)+i・sin(nθ)
この式の証明は、数学的帰納法で簡単に示すことができます。
教科書にもおそらく書いてありますので、そちらを参照願います。
z=問題の左辺
={cos(2π/3) + i sin(2π/3)}^n
=cos(2πn/3) + i sin(2πn/3) ------(1)
=x + i・y
x=cos(2πn/3)、y=sin(2πn/3)となります。
0≦a≦2π,bを整数としたとき、cos(a+2πb)=cos(a)、sin(a+2πb)=sin(a)が
成り立ちます。
(1)式の三角関数の()の中は、2πにn/3を掛けた値です。
したがって、nが3で割ると割り切れるか、1余るか、2余るか、によって、
下記のように3パターンの解があります。
(i)n=3k(kは整数)のとき
x=cos(2πn/3)=cox2πk=cox2π=1
y=sin(2πn/3)=sin2πk=sin2π=0
よって、z=1
(ii)n=3k+1(kは整数)のとき
x=cos(2πn/3)=cos(2πk+2π/3)=cos(2π/3)=-1/2
y=sin(2πn/3)=sin(2πk+2π/3)=sin(2π/3)=√3/2
よって、z=-1/2 + √3/2 i
(iii)n=3k+2(kは整数)のとき
x=cos(2πn/3)=cos(2πk+4π/3)=cos(4π/3)=-1/2
y=sin(2πn/3)=sin(2πk+4π/3)=sin(4π/3)=-√3/2
よって、z=-1/2 - √3/2 i
回答ありがとうございます!
おかげさまで、解法が理解できました^^b
とても分かりやすく、具体的に説明していただいた-kcさんの回答をベストアンサーにしたいと思います!
No.5
- 回答日時:
何故に mを整数としてn=3m、3m+1、3m+2 とするかについて十分な説明がない。
極形式表示よりも、そちらのほうが余程重要なのにね。。。。。w
cos(2nπ)/3+i*sin(2nπ)/3。
0≦2nπ/3<2π だけで考えると、0≦n<3。つまり、n=0、1、2。
これを一般化すると、周期を3とすると良いから n=3m、3m+1、3m+2 に場合わけすることになる。
(注)
解法が指定されているから、その方法に従わなければならないが。
解法が自由なら、次のように考えたら良い。但し、本質的には 同じ事なんだが。
α=-1 / 2 + (√3 / 2) * i → 2α+1=√3* i ここで両辺を2乗すると α^2+α+1=0 → (α-1)*(α^2+α+1)=0 → α^3-1=0
従って、α^nを考える事になるが、nの分類は既に説明したから
(1)n=3mの時 α^n=α^(3m)=(α^3)^m=1
(2)n=3m+1の時 α^n=α^(3m+1)=(α^3)^m*α=α
(3)n=3m+2の時 α^n=α^(3m+2)=(α^3)^m*α^2=α^2=-(α+1)。但し α^2+α+1=0による。
回答ありがとうございます!
mを整数としてn=3m、3m+1、3m+2 とする理由がハッキリと理解できました。
また何かあればよろしくお願いします!
No.4
- 回答日時:
#1です。
A#1の補足です。
>=e^(i*2nπ/3) ←これが極形式表示です。
>=cos(2nπ/3)+i sin(2nπ/3) ←これが直交形式です。
極形式表示
z=|z|e^(iθ), tanθ=Im(z)/Re(z)
今の場合
{(-1/2)+(√3/2)*i}^n={cos(2π/3)+i sin(2π/3)}^n ...(★)
=|1|e^(2nπ/3)
=e^(2nπ/3) ... 極形式表示
=cos(2nπ/3)+i sin(2nπ/3)
直交形式表示
z=x+iy
今の場合(★)の式にド・モアブルの定理を適用すれば
{(-1/2)+(√3/2)*i}^n=cos(2nπ/3)+i sin(2nπ/3) ... 直交形式
となります。
mを整数としてn=3m,3m+1,3m+2に場合分けすると
実部 x=Re(z)=cos(2nπ/3)=1(n=3mの時),-1/2(n≠3mの時)
虚部 y=Im(z)=sin(2nπ/3)
=0(n=3mの時),√3/2(n=3m+1の時),-√3/2(n=3m+2の時)
となります。
No.2
- 回答日時:
>複素数で表される、{-1 / 2 + (√3 / 2) * i }^n をド・モアブルの定理を用いて計算し、
>直交形式 z = x + iy で表せ。
>ただし、i = √-1 で、 nは整数、x , y は実数とする。
>極形式表示の cos(2π/3) + i sin(2π/3) に変換するところまでは分かったのですが、
後は、ド・モアブルの定理を用いて
{-1 / 2 + (√3 / 2) * i }^n
={cos(2π/3) + i sin(2π/3)}^n
=cos(2nπ/3) + i sin(2nπ/3) なのではないでしょうか?
nの値によって全体の値が変わるので、nについて場合分けすれば、
nが正か0のとき、
nが3の倍数のときは、cos(2nπ/3)=1,sin(2nπ/3)=0なので、z=1
nが3で割って1あまるとき、cos(2nπ/3)=-1/2,sin(2nπ/3)=√3/2 なので、
z=(-1/2)+(√3/2)*i
nが3で割って2あまるとき、cos(2nπ/3)=-1/2,sin(2nπ/3)=-√3/2 なので、
z=(-1/2)+(-√3/2)*i
nが負のとき、
cos(-2nπ/3) + i sin(-2nπ/3)
=cos(2nπ/3) - i sin(2nπ/3) なので、sinの符号が逆になります。
でどうでしょうか?考えてみて下さい。
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