途方もない桁数をどのようにチェックするのですか？

こんにちは。

高校で数IIIまで修めた男です。
昨日のニュースでスパコン「京」が計算速度で抜かれて2位に、1位はIBMになりました。
「京」の計算速度は約1京回/秒、IBMは約1京6兆回/秒だそうです。
京は兆の1万倍だそうです。

円周率の桁数とか。
π = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 …
現在は10兆桁まで算出されているそうです。
3チョン、1チョン、4チョン、1チョン、5チョン、1チョン、9チョン、2チョン、6チョン、
・・・・・、・・・・・、・・・・・、・・・・・、・・・・・、・・・・・、・・・・・、
このように桁数をチェックしていくと1チョンを1秒として、年換算すると、
10,000,000,000,000/365/24/60/60　
これを私のスパコンで処理すると結果は約30万年掛かることになります。


Ｑ１．途方も無い桁数をチェック（数える）する場合一体どのような方法で行うのでしょうか？

Ｑ２．桁数が多ければ良いってもんでもないです、正しく計算されていないと×です。
　　　正しく沢山計算が行われた事をどのようにチェックするのでしょうか？

Ｑ３．円周率の桁数の更新は常に未知の世界となります。
　　　これが正しいとの判断はどのような方法で行うのでしょうか？


では宜しくお願い致します。

No.1 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2012/06/19 15:34

詳しいことは知りませんが、打ちきり誤差を計算回数で計算しているのでは？と思いました。

この回答へのお礼

すいません、私には理解できません。

どうもありがとうございました。

お礼日時：2012/06/19 19:59

No.2 回答者： t_ohta 回答日時： 2012/06/19 15:56

Ａ１．コンピュータにチェックさせる以外、方法は無いと思います。

Ａ２．複数の計算式を使い、各計算結果の答えが一致した分は正しいと判断するのが一般的です。

Ａ３．大昔自分でプログラムを作ったことがありますが、円周率を求める計算式には二種類有って、両方の式で計算した結果が一致している桁までが正しいという理論で計算していたと記憶しています。
（確か、円に内接する多角形と外接する多角形のそれぞれの辺の長さを求めていたはず・・・）

この回答へのお礼

あー異なるアプローチと言うか異なる方法で計算して、
合致している所までが正解、と言うことですね。

どうもありがとうございました。

お礼日時：2012/06/19 20:03

No.3 ベストアンサー 回答者： cozycube1 回答日時： 2012/06/19 16:50

>Ｑ１．途方も無い桁数をチェック（数える）する場合一体どのような方法で行うのでしょうか？

　円周率が10兆桁といっても、言い換えれば10テラ桁ですからね。小さくはないですが、扱えない程ではありません。円周率10兆桁達成もPCを使ったアマチュア研究家二人の協力によってなされています。
　どうやら、円周率の桁数といったことに、専門家は興味を失っているようです。そういうことに研究予算は出ないでしょうから。

>Ｑ２．桁数が多ければ良いってもんでもないです、正しく計算されていないと×です。
>　　　正しく沢山計算が行われた事をどのようにチェックするのでしょうか？
>Ｑ３．円周率の桁数の更新は常に未知の世界となります。
>　　　これが正しいとの判断はどのような方法で行うのでしょうか？

　ウィキペディアの「円周率の歴史」が参考になるでしょう。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8% …

　もちろん検証計算も行わねばギネス認定はされないと思いますが、優れたアルゴリズムの開発も寄与していて、それが多数桁の円周率計算に寄与している様子が分かります。

　コンピュータに適した円周率の数値演算技術が進歩したことにより、手計算時代にあった間違いは無くなりつつあるとはいえ、さらに多数桁を計算した結果、間違いが指摘されることは、今後もあるかもしれません。

　以前に気象シミュレーションで発見されたバタフライ効果、つまり有効数字の桁数が1桁違うだけで、全く異なる結果を得るという問題は残されています。できるなら、円周率のような無理数であっても、有効数字の桁数は多いほうが良いことは確かです。

　それでも、つい最近ビッグデータということで番組があったように、現在のコンピュータ技術の興味は、ひたすら一つの正しい数字を追い求めるより、大量のデータを扱うことに向いています。

　シミュレーションでも、TVで見るようなイメージ画面がいきなり創れるはずもなく、まずは数値演算です。それには計算の元となる微分方程式なりなんなりがあります。そこでも、有効数字の桁数をひたすら追い求めるより、より複雑な数式を扱う事が求められます。

この回答へのお礼

実生活で、いや仕事でも（技術系ですが）
円周率は3.14で十分なんですが。

でも10兆桁とか1京6兆回とかでないと困る世界があるのかな。

どうもありがとうございました。

お礼日時：2012/06/19 20:06

No.4 回答者： ta20000005 回答日時： 2012/06/19 18:38

今までの円周率の計算では計算用と確認用で別の方法を用いて多少余裕をもたせて余分な桁まで計算させて、それらが一致することで目標とした桁まで正しいとしています。

10兆桁の計算については、すべての桁を確認はしていないそうです。円周率は16進法での任意桁をいきなり計算する方法が知られているので、それを用いて十分先の桁だけを確認しているようです。

この回答へのお礼

10兆桁の内どこかの桁だけの計算法があると。
それなら楽でいいですね。（楽じゃないと思いますが）

どうもありがとうございました。

お礼日時：2012/06/19 20:09