＜至急＞極座標を使った、２次曲線の問題。

極座標を使った、２次曲線の問題。解説お願いします！

楕円x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)の中心Oから垂直な２つの半直線を引き、
楕円との交点をP,Qとすると、
1/OP^2+1/OQ^2は一定であることを示せ。

No.3 ベストアンサー 回答者： nag0720 回答日時： 2012/06/21 14:46

楕円x^2/a^2+y^2/b^2=1 を極座標で表すと、

x=rcosθ,y=rsinθ を代入して、
r^2cos^2θ/a^2+r^2sin^2θ/b^2=1
つまり、
cos^2θ/a^2+sin^2θ/b^2=1/r^2

また、垂直な２つの半直線：y=xtanα、y=xtan(α+π)を極座標で表すと、
θ=α
θ=α+π
となる。

楕円とθ=α、θ=α+πとの交点をP,Qとすると、
cos^2α/a^2+sin^2α/b^2=1/OP^2
cos^2(α+π)/a^2+sin^2(α+π)/b^2=1/OQ^2
が成り立つ。

1/OP^2+1/OQ^2=cos^2α/a^2+sin^2α/b^2+cos^2(α+π)/a^2+sin^2(α+π)/b^2
=cos^2α/a^2+sin^2α/b^2+sin^2α/a^2+cos^2α/b^2
=1/a^2+1/b^2

この回答へのお礼

丁寧に書いていただきありがとうございました！
おかげさまで解き方が分かりました。

お礼日時：2012/06/21 16:20

No.4 回答者： ferien 回答日時： 2012/06/21 15:14

ANo.1です。

２つ目の方法で、
半直線がｘ軸やｙ軸だけでなく、任意のθについて一定であるとを示せるのではないかと
試してみましたがうまくいきませんでした。（θ＝π/4では、成り立ちましたが。）

この回答へのお礼

媒介変数表示のやり方の説明、ありがとうございました。
参考になりました。

お礼日時：2012/06/21 16:21

No.2 回答者： ferien 回答日時： 2012/06/21 10:46

ANo.1です。

訂正お願いします。

＞極座標では、ｘ＝ａcosθ，ｙ＝ｂsinθ　とおくと、（０≦θ≦π/2）
極座標ではありません。媒介変数表示による方法でした。

済みません。

No.1 回答者： ferien 回答日時： 2012/06/21 09:08

＞楕円x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)の中心Oから垂直な２つの半直線を引き、

＞楕円との交点をP,Qとすると、
＞1/OP^2+1/OQ^2は一定であることを示せ。
極座標を使わなくても解けると思いますが。。
中心Ｏ（０，０）から引く垂直な２つの半直線は、ｘ軸とｙ軸だと思いますが、
ｘ軸との交点は、ｙ＝０とおくと、ｘ^2／ａ^2＝１，　ｘ^2＝ａ^2より、ｘ＝±ａ
Ｐ（±ａ，０）
ｙ軸との交点は、ｘ＝０とおくと、ｙ^2／ｂ^2＝１より、ｙ＝±ｂ　Ｑ（０，±ｂ）
｜ＯＰ｜＝ａ，｜ＯＱ｜＝ｂだから、ＯＰ^2＝ａ^2，ＯＱ^2＝ｂ^2
よって、
1/OP^2+1/OQ^2＝（１／ａ^2）＋（１／ｂ^2）＝（ａ^2＋ｂ^2）／（ａｂ）^2
だから、一定です。

極座標では、ｘ＝ａcosθ，ｙ＝ｂsinθ　とおくと、（０≦θ≦π/2）
（ｘ^2／ａ^2）＋（ｙ^2／ｂ^2）＝（ａ^2cos^2θ／ａ^2）＋（ｂ^2sin^2θ／ｂ^2）＝１
ｘ軸との交点は、ｘ軸とのなす角θ＝０より、　　
Ｐ（ａcos０，ｂsin０）＝（ａ，０）
ｙ軸との交点は、ｘ軸とのなす角θ＝π/2より、
Ｑ（ａcos（π/2），ｂsin（π/2））＝（０，ｂ）
ＯＰ^2＝ａ^2，ＯＱ^2＝ｂ^2
以下は、さっきと同じです。

どうでしょうか？