e^πとπ^eが近い値をとる理由

題名の通りなのですが、e^πとπ^eが近い値をとる理由をどなたか教えてください。
昔、何かの本でそれっぽい理由があるというのを読んだことがあるのですが、内容を完全に忘れてしまったので。。。

No.1 ベストアンサー 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2012/08/09 21:54

π^e=e^(elnπ)

elnπ≒πとすると、π≒e^(π/e)
e^(π/e)=3.176…≒π
よって、
π^e≒e^π
てのじゃダメですか？

この回答へのお礼

多くの回答ありがとうございました。
何となくすっきりしました。

お礼日時：2012/08/13 00:57

No.6 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2012/08/10 16:24

あと、y=x/logxのグラフを書いてやった方が本質的です。

No.5 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2012/08/10 00:08

いきなり単純に値が近いからと言われたからです。

No.2さんの話でいけば、y'=(1-lnx)/x^2から、極値はx=eの時である。
つまり、極大値。
x=eを除く任意のxに対してe^x>x^eとなる。
これを踏まえてxにπという、eに近い値を入れているからと言わなければ。

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/08/09 23:37

そも「なんらかの理由がある」とする理由がないんだけど....

「充分に大きなnについて考えた場合」に「(n+1)^n≒n^n」とするのはちとまずいのでは＞#3. 結論に影響ないとはいえ e を忘れてる.

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2012/08/13 00:58

No.3 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2012/08/09 23:32

No.2さんへの反論。

n^(n+1)と(n+1)^nで充分に大きなnについて考えた場合、(n+1)^n≒n^nとなる。(n^nで割って極限を考えればわかる。)
すると、n^(n+1)=n×n^n>>(n+1)^n

従って、値が近いと言う単純な話ではない。

No.2 回答者： peppermint_moon 回答日時： 2012/08/09 23:11

単純に、e≒2.71、π≒3.14と非常に近い値を取るからではないでしょうか。

y=logx/x（底は自然対数、x>0）のグラフを考えると、
loge/e>logπ/πであることはすぐにわかるので、実際はe^π>π^eですが。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2012/08/13 00:58