Ω={(x1,x2)∈R^2 | (x1)^2+(x2)^2<1}とし、
uはΩ⊂R^2において調和関数とします。
このとき極座標表示x1=rcosθ,x2=rsinθ(0≦r<1,0≦θ≦2π)を用いて
∫(0~2π)(∂/∂r)(∂u/∂r)rdθを考えたいのですが、
uが調和関数なら
∫(0~2π)(∂/∂r)(∂u/∂r)rdθ=(∂/∂r)∫(0~2π)(∂u/∂r)rdθ
が明らかだというのは何故なのでしょうか?
調和関数の性質?からでしょうか・・・。
どなたか、解説または証明を教えてください。
よろしくお願い致します。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
記号が面倒なので
∫[a,b] f(r,θ)dθ
をrで偏微分することを考えましょう。状況は全く同じです。ここでfは考えている範囲でC^1とします。r=tにおける偏微分係数を定義に従って書けば極限の形ですよね?そこでrに関して平均値の定理を使って極限を微分に直してやります。あとは通常の収束定理がそのまま使えるはずです(導関数は連続としてあるので有限区間上で最大、最小値をもちます)。
No.1
- 回答日時:
調和関数独特の性質によるものではないです。
C^2であることだけで十分です。積分領域が有界なのと、(u_r)rが滑らかな関数であることに注意してLebesgueの収束定理などを使えばよいでしょう。この回答への補足
ご回答ありがとうございます。
考えてみましたが、uが具体的な関数でないため、うまくLebesgueの収束定理を使って評価できずに困っています。
よろしければ
∫(0~2π)(∂/∂r)(∂u/∂r)rdθ=(∂/∂r)∫(0~2π)(∂u/∂r)rdθ
とできることの証明をお願いできませんでしょうか?
知識不足で申し訳ありません・・・。
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