紙ひもを使った正五角形の折り方

　紙ひもを使った正五角形の作り方を結び目による正五角形以外の方法がないものかと試行錯誤し
たのですがうまく行きません。勿論結び目のよる正五角形の作り方も立派な折り紙です。
　別の方法として、紙ひもの幅をLとして直角に折ってから一辺Lの正方形を作り正五角形の１つの頂点の角度が１０８度になるように折り曲げる幅をl（Lの小文字）を決められればよいとの考えで考えたのですが論理的にうまく行きません。理論的にはl＝tan18・×L　ですが、tan１８・（＝０．３２４９)の値に近いsin18・（＝(√５－１）/4=０．３０９０）に着目して黄金分割の比の求め方を応用したのです。
　一応折り紙として折ったのですが紙ひもの長さLに対して２％位の誤差があります。折り紙として見たら余り気にはならないのですが。でも、理論的には正解ではないのです。正五角形のよい折り方があったら教えて下さい。なお、添付資料も参照して下さい。宜しくお願いします。
　　以上　　八王子　ky

No.7 回答者： staratras 回答日時： 2012/09/23 21:04

No.5＆6 です。

折り方の追加です。

No.5で72度が折れたので、この補角を2等分することによって54度を折ることができ、結果としてtan54度に相当する長さが得られます。tan54度=(1/5）(√25+10√5)≒1.376…　
そこで、紙ひもの幅１を短辺とし、長辺がtan54度の長方形を5個折り、そのそれぞれの対角線を次々に折って、紙ひもをひねるようにしていくと、正五角形ができます。

No.6 回答者： staratras 回答日時： 2012/09/17 00:20

No.5です。

幅1.8cmの紙テープを使って実際に正五角形を折ってみました。一辺の長さは1.8×(1+√5)≒約5.8cmとなっています。

No.5 回答者： staratras 回答日時： 2012/09/16 13:33

正五角形は「コンパスと定規だけで作図できる正多角形」なので、もちろん正方形の折り紙を折っても作図できます。

紙ひもの端に正方形を作り、その中に正五角形を作ってしまうのも一つの方法でしょう。この「正方形の折り紙を折って正五角形を作る」やり方は「正五角形　折り紙」で検索すれば多数出てきます。

ただしご質問で求められているのは、おそらくそのような正方形の折り紙から(小さな)正五角形を作る方法ではなく、短辺に比べて長辺が長いという紙ひもの性質を生かして正五角形を作るには(結び目を作る方法以外に）どのような方法があるか、ということだと思います。そこで正確な方法と、簡単にできる近似的な方法の２通りを考えてみました。

基本的な考え方は、正五角形の内角はすべて108度なので、その外角である72度を作ることで、正五角形を作ろうというものです。

底角72度、頂角36度で底辺2の二等辺三角形ABCを考え底角ABCの２等分線とACの交点をDとすると、△ABCと△BCDは相似です。ここでAB=xとおくと、AB:BC=BC:CDからx:2=2:(x-2),すなわちx^2-2x-4=0 が成り立ちます。これを解くと、x>0 からx=1+√5

これは底辺の長さ2で底角72度の2等辺三角形の等辺の長さが1+√5であることを示していますが、これを底辺の垂直2等分線で2つに分けた、短い辺の長さが1で斜辺の長さが√5+1である直角三角形を幅1の紙ひも上に作ることを考えました。

√5は短辺1、長辺2の長方形の対角線の長さとして容易に得られますので、添付した図の通り、紙ひものはしABから1+√5のところにC,Dの印を折ります。そして端のAを通る直線で折って、Cが紙ひもの向いの辺BD上に来るようにすると、その点Eが求める頂点です。AEを結ぶと角EABは72度です。

以上の方法は、正確ではありますが少し面倒です。実はtan72°=√(5+2√5)=3.07768…と極めて3に近いので、(図でEが3に近接しているとおりです)　単純に紙ひもの幅(短辺)の3倍の長辺の長方形を作って、その対角線を折っても72度に近い角が得られます。arctan(3)=71.5650°…なので、差は0.5度未満です。

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2012/09/13 13:04

> 勿論結び目のよる正五角形の作り方も立派な折り紙です。

　すると、正七角形（コンパスと定規を使って作図したのでは描けない）も結び目の折り紙で作れるわけで、ということは、これはフツーの作図の問題とは趣が違いますね。

　さて、「ある問題を、既に解けている問題に帰着する」というのは、数学の最も基本的なアプローチのひとつですんで、「結び目による正五角形」なり「結び目による正十五角形」で作った角度を他にコピーして使えばいいじゃん、というのは立派な答になる。

　おそらくこれは、お求めの答ではないでしょう。だとすると、問題が曖昧なのです。
　問題に「結び目を一度も作る事なしに」という条件を付けたい。しかし、「結び目」とは一体何のことなのか。仰るところの「結び目」は少なくとも（紙ひもの両端がつながっていないので）位相幾何学（トポロジー）で言う「結び目」ではない。それじゃ「結び目」という概念をどう定義し直せばいいだろうか、というところから考えねばなりませんねー。

No.3 回答者： nag0720 回答日時： 2012/09/12 05:15

紙ひもの辺に対し７２°の角度で折ることができれば正五角形が作れます。

問題は、７２°で折れるかどうかですが、もし９°で折れれば、１８°、３６°、７２°も折れますから、
９°で折れれば正五角形が作れることになります。

紙ひもの幅を１としたとき、紙ひもの辺上に　√５＋１　の長さをとることはさほど難しくないと思います。
その両端点をＡ,Ｂとします。
Ａを折り目の端点とし、点Ｂが対辺に重なるように折ると、その折った角度は９°になります。

証明はそんなに難しくないと思いますので、御自分で確認してください。

No.2 回答者： aries_1 回答日時： 2012/09/12 02:01

#1です。

すみませんが、訂正があります。

(2)で角度や長さを指定しましたが、それは無視して下さい。
一番初めはどのように折っても、∠Bを辺CDに接したり、越えたりしないように折りさえすれば、そのうち正五角形になります。

No.1 回答者： aries_1 回答日時： 2012/09/12 01:35

数学的な理論は一切無視ですが、分度器で計ると1つの角が108゜になり、全ての辺の長さが等しくなる折り方はあります。

(折り方によっては多少の誤差が出ますが…)

説明上、紙ひもの四隅をA,B,C,D(AB>BC,AB=CD,BC=DA)とします。
(1)まず、なるべく長い紙ひもを辺BCを下にして縦に置きます。

(2)60゜位の角度をつけて、∠Bを辺CDに近づけるようにして折り上げます。
このとき、折り曲げた側は辺BCを上底とする台形になりますが、台形の下底(長い方)が紙ひもの幅と同じ位になるようにします。
また、∠Bが辺CDに接したり、越えたりしないように折って下さい。

(3)先程出来た台形を仮にCEFB(CEが上底、FBが下底)とします。
今度は台形CEFBを∠Bを支点として上に折り上げます。
このとき、∠Eが辺ABに接するようにして下さい。
すると、140゜位の角を1つ持つ六角形、別の言い方をすれば、等脚台形の下底に小さな三角形が載っているような図形が出来ます。

(4)∠Cを支点として、先程出来た図形を折り上げますが、このとき一番下にある角が辺CDに接するようにします。
なお、一番下にある角というのは、元の紙ひもに重ねた時に、辺AB上にある角のことです。

以下同様に、一番下にある角が元の紙ひもの辺AB上にあるなら辺CDに、辺CD上にあるなら辺ABに接するように折り上げていきます。
初めから数えて4回位折ると、五角形が出来ますので、その五角形の形を崩さないように折っていくと最終的に正五角形になります。

補足:何となくお分かりになるかもしれませんが、出来上がった正五角形の一辺の長さは紙ひもの辺DA(BC)の長さと等しくなります。


長々とした説明になってしまいました。
分かりにくかったらすみませんm(__)m