No.6
- 回答日時:
この問題のbaseは虚数。
係数は実数と考える。f(x)=(x^2+x+1)*A(x)+x+2=(x^2+1)*B(x)+1=(x^2+1)*(x^2+x+1)*C(x)+ax^3+bx^2+cx+d
x^2+x+1=0を解くと x=ω → ω^3=1、ω^2+ω+1=0
x^2+1=0から x=±i。
よって、f(i)=f(-i)=1. f(ω)=ω+2 が成立する。
f(i)=1 から -ai-b+ci+d=1 ‥‥(1)、f(-i)=1 から ai-b-+ci+d=1‥‥(2)
f(ω)=ω+2から aω^3+bω^2+cω+d=a+b(-ω-1)+cω+d=ω+2 ‥‥(3)
(1)と(2)の和と差を作ると、文字は実数から d=1+b、a=cだから (3)を加えると
(a、b、c、d)=(1、0、1、1)だから 求めるものは x^3+x+1。
(注)
書き込みが面倒だから、いちいち書かないが
実数部+虚数部の係数*i=0 の場合は 実数部=虚数部の係数=0になる。
もちろん、ωも虚数だから同じ。
No.4
- 回答日時:
>>※3の余りはx^2+x+1でまだ割ることが出来るので、
というのはなぜわかるのでしょうか?
この式はわかりますよね。
f(x)=(x^2+x+1)(x^2+1)Q''(x)+ax^3+bx^2+cx+d(4次式で割っているので余りは高々3次式)・・・※3
ax^3+bx^2+cx+dは3次式なのでそれよりも次数の低い2次式であるx^2+x+1でまだ割れるということです。
具体的には、
(ax^3+bx^2+cx+d)÷(x^2+x+1)=ax+b-a・・・余り(c-d)x+d-b+a (←整式の割り算ですね@筆算みたいな)
これを四則演算を使って書き直すと、
ax^3+bx^2+cx+d=(x^2+x+1)(ax+b-a)+(c-d)x+d-b+a
になります。←(割られる数)=(割る数)×(商)+(余り)の関係ですね。
これを※3に代入すると、
f(x)=(x^2+x+1)(x^2+1)Q''(x)+(x^2+x+1)(ax+b-a)+(c-d)x+d-b+a
=(x^2+x+1){(x^2+1)Q''(x)+(ax+b-a)}+(c-d)x+d-b+a・・・※4
もう少しこの式の意味を補足すると、※4式の{ }内を新たにQ'''(x)と置くと、
=(x^2+x+1)Q'''(x)+(c-d)x+d-b+aとなるということです。
→f(x)はx^2+x+1で割ると商がQ'''(x)で余りが(c-d)x+d-b+aとなるという意味です。
それで、これは※1と同じなので、余り同士を比べていくという考え方です。
いかがでしょう?
もしわからないところがあればまた補足を入れてください。
この回答への補足
お礼のあとにすいません。
a=c=d=1だったら、
係数比較したときの式の
1=c-d
が成り立たないと思うんですが
どうでしょうか(><)
No.3
- 回答日時:
f(x)は題意より以下の通り表せます。
f(x)=(x^2+x+1)Q(x)+x+2・・・※1
f(x)=(x^2+1)Q'(x)+1・・・※2
f(x)=(x^2+x+1)(x^2+1)Q''(x)+ax^3+bx^2+cx+d(4次式で割っているので余りは高々3次式)・・・※3
※3の余りはx^2+x+1でまだ割ることが出来るので、さらに変形すると、
f(x)=(x^2+x+1)(x^2+1)Q''(x)+(x^2+x+1)(ax+b-a)+(c-d)x+d-b+a
=(x^2+x+1){(x^2+1)Q''(x)+(ax+b-a)}+(c-d)x+d-b+a・・・※4
※1と※4の余りを比較すると
1=c-d,2=d-b+a・・・※6
また※3の余りはx^2+1でまだ割ることが出来るので、さらに変形すると、
f(x)=(x^2+x+1)(x^2+1)Q''(x)+(x^2+1)(ax+b)+(c-a)x+d-b
=(x^2+1){(x^2+x+1)Q''(x)+ax+b}+(c-a)x+d-b・・・※5
※2と※5の余りの比較から、
c-a=0,d-b=1・・・※7
※6と※7の連立方程式を解くと、
a=c=d=1,b=0
よって求める余りは、x^3+x+1・・・答え
この回答への補足
>※3の余りはx^2+x+1でまだ割ることが出来るので、
というのはなぜわかるのでしょうか?
初歩的な質問ですよね…
できたらお答えお願いしたいです(><)
No.2
- 回答日時:
f(x)をx^2+x+1で割った商をさらにx^2+1で割ったときの商をQ(x)、余りをax+bとおくと、
f(x)をx^2+x+1で割った商が(x^2+1)Q(x)+ax+bとなりますから、
題意からf(x)=(x^2+x+1){(x^2+1)Q(x)+ax+b}+x+2が成り立ちます。
整理するとf(x)=(x^2+x+1)(x^2+1)Q(x)+(ax+b)(x^2+x+1)+x+2…(A)
f(x)を(x^2+x+1)(x^2+1)で割ったとき、余りは高々3次式ですから、商と余りの一意性からこのときの商はQ(x)、余りは(ax+b)(x^2+x+1)+x+2にほかなりません。したがってa、bを求めればよいことになります。
一方x^2+1で割ると1あまるので、x^2+1の解i,-iはf(i)=f(-i)=1を満たします。
i^2+1=0に留意して(A)にx=iを代入すると、
f(i)=(ai+b)i+i+2=-a+bi+i+2=-(a-2)+(b+1)i
∴-(a-2)+(b+1)i=1
∴a=1,b=-1(←左右辺の虚部どうし実部どうしが同じなので)
(f(-i)=1の方は結果的に使わない)
∴求める余りは、(x-1)(x^2+x+1)+x+2=x^3-1+x+2=x^3+x+1
計算ミスっていたらごめんなさい(^_^;)
No.1
- 回答日時:
f(x)=Q_1(x)(x^2+x+1)+x+2=Q_2(x)(x^2+1)+1
とおけます.Q_i(x)(i=1,2)は多項式.ここでx^2+x+1=0の解ω,ω^2とx^2+1=0の解±iを把握しておきます.
f(x)=Q(x)(x^2+x+1)(x^2+1)+ax^3+b^2+cx+d
とおけるので,この式にx=ω,ω^2,±iを代入するとa,b,c,dに関する連立方程式ができます.それをω^3=1,ω^2+ω+1=0に注意して解くと(ω=(-1+√3i)/2にも注意)ax^3+b^2+cx+dは
x^3/√3+x/√3+1
となると思います.(朝のあわただしい時に解いたので要検算)
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